初項a0, 公比rの等比数列  n項和：Sn (r≠1) Sn = a0+a0r+a0r^2+a0r^3+…+a0r^(n-1)
無限項和：S ( 収束条件：|r|＜1 )rSn= a0r+a0r^2+a0r^3+…+a0r^(n-1)+a0r^n (1-r)Sn=a0-ar^n Sn=a0(1-r^n)/(1-r) S=a0+a0r+a0r^2+a0r^3+…a0r^(n-1) +…
= a0/(1-r) |
公式 |
| ak=k(k-1)(k-2) =(1/4)(k+1)k(k-1)(k-2)-(1/4)k(k-1)(k-2)(k-3) |
∑[k=4,n] ak=(1/4)(n-3)(n+2)(n^2-n+4) ∑[k=3,n] ak=(1/4)(n+1)n(n-1)(n-2) |
| ak=k ak=k^2 ak=2k-1 ak=(2k-1)^2 ak=k^3 ak=k^4 ak=k^5 ak=k^6 |
∑[k=1,n] ak=(1/2)n(n+1) ∑[k=1,n] ak=(1/6)n(n+1)(2n+1) ∑[k=1,n] ak=n^2 +n-1 ∑[k=1,n] ak=(1/3)(2n+1)(2n-1) ∑[k=1,n] ak=(1/4)(n^2)((n+1)^2) ∑[k=1,n] ak=(1/30)n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n-1) ∑[k=1,n] ak=(1/12)(n^2)((n+1)^2)(2n^2 +2n-1) ∑[k=1,n] ak=(1/42)n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1) |
| [演習1] 以下の漸化式で与えられる数列の 一般項Pn, Qn, Rn を求めよ。 Pn+1=(2/3)Pn+(5/9)Qn+(5/9)Rn…(1) Qn+1=(1/6)Pn+(4/9)Qn…(2) Rn+1=(1/6)Pn+(4/9)Rn…(3) ただし、初項は以下の通りである。 P1=2/3,Q1=R1=1/6…(4) |
[解答] (2)-(3)より Qn+1-Rn+1=(4/9)(Qn-Rn) Sn=Qn-Rnとおけば Sn+1=(4/9)Sn=…={(4/9)^n}S1={(4/9)^n}(Q1-R1)=0 ∴Rn=Qn … (5) (5)を(1)に代入 Pn+1=(2/3)Pn+(10/9)Qn…(6) Qn+1=(1/6)Pn+(4/9)Qn…(2) (6)と(2)から Pn+1-(10/3)Qn+1 …(*) =(1/9)Pn-(1/3)(10/9)Qn =(1/9){Pn-(10/3)Qn} Tn=Pn-(10/3)Qn…(7)とおくと Tn+1=(1/9)Tn=… ={(1/9)^n}T1={(1/9)^n}{P1-(10/3)Q1} ={(1/9)^n}{2/3-(10/3)(1/6)}=(1/9)^(n+1) Tn=(1/9)^n (7)に代入 Pn=(10/3)Qn+(1/9)^n…(8) Qn+1=(5/9)Qn+(1/6)(1/9)^n+(4/9)Qn =Qn+(1/6)(1/9)^n Qn+1 -Qn=(1/6)(1/9)^n … Q2-Q1=(1/6)(1/9) Qn+1=(1/6)+(1/6){(1/9)+(1/9)^2 +…+(1/9)^n} =(1/6){1-(1/9)^(n+1)}/{1-(1/9)} =(3/16){1-(1/9)^(n+1)} Qn=(3/16){1-(1/9)^n}…(9) (5)から Rn=(3/16){1-(1/9)^n} (8)に(9)を代入 Pn=(5/8){1-(1/9)^n}+(1/9)^n =(5/8)+(3/8)(1/9)^n [補足説明] (*)式 Pn+1=Pn=x、Qn+1=Qn=yとおいて x=(10/3)yを出して (*)の左辺=Pn+1-(10/3)Qn+1を作る。 |
循環小数の分数への変換
循環小数は等比級数の無限項和で表現できることを利用して分数に変換できる。 [例題１] 次の循環小数を分数で表せ。 .. 0.1111111111… = 0.11 [解答1] 0.1111111111… =0.1+ 0.1*0.1 +0.1*0.1^2 +0.1*0.1^3 +… 初項 a0 = 0.1, 公比 r = 0.1の等比級数の無限項和Sであるから 0.111111111… = 0.1/(1-0.1) = 0.1/0.9 = 1/9 [例題2] 次の循環小数を分数で表せ。 . ． 0.123 [解答2] ．． 0.123 = 0.123+0.123*0.001+0.123*0.001^2+0.123*0.001^3+ = 0.123/(1-0.001) = 123/999 = 41/333 [例題3] 次の循環小数を分数で表せ。 . ． 5.102 [解答3] . . 5.102 = 5+ 0.102/(1-0.001) = 5+ 102/999 = 5+34/333 = (5*333+34)/333 = (1665+34)/333 = 1699/333 |