オイラーがフェルマーの最終定理を拡張した予想である。

n > 3 の時
x1n + x2n +......+xn-1n= y2 を満たす自然数の解 (x1,x2,..,xn-1,y) は存在しない。

現在では、反例によってこの予想は正しくないことが証明さ れている。

n > 5 の場合の反例は今現在、発見されていないようです。

完全数とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のこと。
6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+14
オイラーが証明
n が自然数、2n+1-1 が素数のとき、2n(2n+1-1)…(1) は完全数である。
偶数の完全数は全てこの(1)式で与えられる。
奇数の完全数については存在するかどうか判っていない。
　　存在するなら
      ・奇数の完全数は300桁よりも大きい。
　　　・奇数の完全数は少なくとも９個の異なる素因数を持つ。
参考URL:
[1]www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html
[2]完全数、メルセンヌ数
[3]Mersenne Primes:History,Theorems and Lists
[4]44th Known Mersenne Prime Found!!

P  2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787 1398269 2976221 3021377 6972593 13466917 …この間にあるかも 20996011 24036583 25964951 30402457 32582657 ….これ以降探索競争中	メルセンヌ素数:(2^P)-1 22-1 = 3 23-1 = 7 25-1 = 31 27-1 = 127 213-1 = 8191 2^13466917-1(4053496桁) … 2^30402457-1(9152052桁) 2^32582657-1(9808358桁) …	完全数 　 2( 22-1) = 6 22( 23-1) = 28 24( 25-1) = 496 26( 27-1) = 8128 212( 213-1) = 33550336 2^13466916(2^13496617-1) … 2^30402456(2^30402457-1) 2^32582656(2^32582657-1) …

1 と自分自身しか約数を持たない整数を素数と言う。
逆に素数ではない整数は合成数と言う。

整数を素数の積に表すこと。
因数分解法：フェルマ法、モンテカルロ法、Ｐ−１法　　

ピタゴラス数
a,b,cを自然数とするとき
a²+b²=c²
を満たす自然数のセット(a,b,c), c＞a≧b≧1

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (15, 112, 113), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 88, 89), (40,198,202), (48, 55, 73), (57, 176, 185), (65, 72, 97), …

自然数数列の二乗和が自然数の二乗となる場合

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6=N2

12=12 12+22+32+42+52+…+242=702

参考URL
[1]Nannonball Problem(Wolfram)

a,b,cを自然数とするとき
a³+b³=c³
を満たす自然数のセット(a,b,c), c＞a≧b≧1は存在しない
[n=3でのFerma3t's last theorem の場合]

a,b,c,dを自然数とするとき
a³+b³+c³=d³
を満たす自然数のセット(a,b,c,d), d＞a≧b≧c≧1

33+43+53=63 7^3+14^3+173=203 113+123+133+143=203 26^3+55^3+78^3=87^2 283+53^3+75^3=84^3 33^3+70^3+92^3=105^2 1^3+71^3+138^3=144^3 1^3+135^3+138^3=172^3 1^3+372^3+426^3=505^3 1^3+426^3+486^3=577^3 1^3+242^3+720^3=729^3 1^3+566^3+823^3=904^3 1^3+791^3+812^3=1010^3 1^3+236^3+1207^3=1210^3 1^3+575^3+2292^3=2304^3 2160^3+882000^3+2046000^3=2100000^3

参考URL
[1]http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html
[2]
[3]　

1+23+33+43=100

参考URL
[1]Diophantine Equation--3rd Powers[Wolfram]
[2]

a,b,cを自然数とするとき
a⁴+ b⁴= c⁴
を満たす自然数のセット(a,b,c), c＞a≧b≧1

a,b,c,dを自然数とするとき
a⁴+ b⁴+ c⁴ = d⁴
を満たす自然数のセット桁数 (a,b,c,d), 1≦a≦b≦c＜d
前の数字の列は桁数

5-6-6-6=(95800, 217519, 414560, 422481), 7-8-8-8=(2682440, 15365639, 18796760, 20615673), 7-8-8-8=(2164632, 31669120, 41084175, 44310257), 8-8-8-8=(10409096, 42878560, 65932985, 68711097), 7-9-9-9=(1841160, 121952168, 122055375, 145087793)[2007/5/31] 8-8-9-9=(34918520, 87865617, 106161120, 117112081) 8-9-9-9=(), 8-9-9-9=(27450160, 108644015, 146627384, 156646737)[2007/6/1] 9-10-10-10=(664793200, 3134081336, 2448718655, 3393603777)

参考ＵＲＬ
[1]http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html
[2]http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/index.html
[2]
[3]

a,b,cを自然数とするとき
a⁵+b⁵=c⁵
を満たす自然数のセット(a,b,c), c＞a≧b≧1

a,b,c,dを自然数とするとき
a⁵+b ⁵+c⁵=d⁵
を満たす自然数のセット(a,b,c,d), d＞a≧b≧c≧1

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 852825+289695+31835+555 = 853595

1+25+35+45=1300

5+52+53+54= 780

n!≧2^(n-1) nは自然数 等号はn=1,2で成立 n≧3で　n!＞2^(n-1)	[証明] n=1の時 n!=1!=1, 2^(n-1)=2^0=1で等号成立 n=2の時 n!=2!=2, 2^(n-1)=2^1=2で等号成立 n≧3の時 n!=2*3*4*5*...*n =2*(2+1)*(2+2)*(2+3)*...*{2+(n-2)} ＞2*(2+0)*(2+0)*(2+0)*...*(2+0) =2^(n-1) ∴n!＞2^(n-1)