| 陽関数:y=f(x) | |
| (xo,yo)における接線, yo=f(xo) |
y=f'(xo)(x-xo)+yo |
| 陰関数:f(x,y)=0 | |
| (xo,yo)における接線, f(xo,yo)=0 |
f'(x,y)=fxdx+fydy=0, y'=-fx/fy y=-{fx(xo,yo)/fy(xo,yo)}(x-xo)+yo (x-xo)fx(xo,yo)+(y-yo)fy(xo,yo)=0 |
| 媒介変数：x(t), y(t) |
|
| x=f(t), y=g(t), xo=f(to),yo=g(to) |
dx/dt=f'(t), dy/dt=g'(t), dy/dx=f'(t)/g'(t) y={f'(to)/g'(to)}(x-f(to))+g(to) f'(to)(x-f(to))-g'(to)(y-g(to))=0 |
| 陽関数:z=f(x,y) | 接平面 |
| (xo,yo)における接平面, zo=f(xo,yo) | z-zo=(x-xo)∂z(xo,yo)/∂x +(y-yo)∂z(xo,yo)/∂y |
| dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy |
(xo,yo)では dz=fx(xo,yo)dx+fy(xo,yo)dy |
| [演習1] z=x2*exp(xy)上の点(1,0,1)における接平面の方程式を求めよ。 |
[解答]fx(1,0)=2, fy(1,0)=1から z-1=2(x-1)+y ∴2x+y-z=1 |
| 陰関数:f(x,y,z)=0 | 接平面 |
| (xo,yo,zo)における接平面, f(xo,yo,zo)=0 | (x-xo)fx(xo,yo,zo)+(y-yo)fy(xo,yo,zo)+(z-zo)fz(xo,yo,zo)=0 |
| (x/a)2+(y/b)2+(z/c)2=1 | (x-xo)/a2+(y-yo)/b2+(z-zo)/c2=1 |
| [演習2] x2-2y2+3z2=1上の点(0,1,1)における接平面の方程式を求めよ。 |
[解答]f(x,y,z)= x2-2y2+3z2-1 fx(0,1,1)=0, fy(0,1,1)=-4, fz(0,1,1)=6 -4(y-1)+6(z-1)=0 ∴3z-2y=1 |
| 媒介変数：x=f1(u,v), y=f2(u,v), z=f3(u,v) |
接平面 |
| (xo,yo,zo)における接平面 | (x-x0)(∂f2/∂u*∂f3/∂v-∂f3/∂u*∂f2/∂v)+ (y-y0)(∂f3/∂u*∂f1/∂v-∂f1/∂u*∂f3/∂v)+ (z-z0)(∂f1/∂u*∂f2/∂v-∂f2/∂u*∂f1/∂v)=0 |
| [演習3]曲線(x,y,z)=(2cos(t),2sin(t),z=t/(2π))上の点(2,0,0)における接平面の方程式を求めよ。 |
[解答] 検討中 |