△ABCの数学

ピタゴラスの定理　　 （直角三角形の辺の間の関係）	a,bを直角を挟む2辺，cを斜辺とすると a^2+b^2=c^2
ピタゴラス数 a2+b2=c2の関係にあ る共通因数のない自然数の組	(3,4,5), (5.12.13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85),(15,112,113), (16,63,65),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,89),(40,198,202),(48,55,73)
△ABCの各頂点の角をA, B, C x, ｙは A, B, Cのいずれかの角
直角三角形∠C=90° a2+b2=c2 ∠A+∠B=90°	sin2 A + cos2A = 1, sin2 B + cos2B = 1 sin2 A + sin2B = 1, cos2 A + cos2B = 1 1 + tan2 A = sec2 A, 1 + tan2 B = sec2 B, 1 + cot2 A = cosec2 A, 1 + cot2 B = cosec2 B cosA = sinB, cosB = sinA
鈍角三角形 ∠C>90° a2+b2＜c2 ∠A+∠B<90°	sin(A+B)=sinC, cosC=-cos(A+B) c2= a2+b2-2ab cosC=a2+b2+2ab cos(A+B)
三角関数の公式	sin(π/3) = cos(π/6) = √3 / 2 sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 sin(π/12)=cos(5π/12)=(√6-√2)/4 sin(5π/12)=cos(π/12)=(√6+√2)/4 sin(π/6) = cos(π/3) = 1/2 sin(π/18)= sin（π/9)= sin(π/10)=(√5-1)/2 sin(2π/9)= sin(5π/18)= sin(7π/18)= sin(4π/9)= tan(π/4) = cot(π/4) = 1 tan(π/3) = cot(π/6) = √3 tan(π/6)= cot(π/3) = 1/√3 sin60°= cos30°= √3 / 2 sin45°= cos45°= 1/√2 sin15°=cos75°=(√6-√2)/4 sin75°=cos15°=(√6+√2)/4 sin30°= cos60°= 1/2 sin10°= sin20°= sin18°=(√5-1)/2 sin40°= sin50°= sin70°= sin80°= tan45°= cot45°= 1 tan60°= cot30°= √3 tan30°= cot60°= 1/√3
●4半角の公式	8 sin^4 x =  cos 4x +7 sin(π/24) = { (4√) (√3 +14 ) }/2 sin7.5°= { (4√) (√3 +14 ) }/2
●半角の公式	sin^2 x = (1 - cos 2x ) / 2 cos^2 x = (1 + cos 2x ) / 2 sin(π/12) = cos(5π/12) = √(2-√3) / 2 cos(π/12) = sin(5π/12) = √(2+√3) / 2 sin15°= cos75°= √(2-√3) / 2 cos15°= sin75°= √(2+√3) / 2
●加法定理	sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
●積和公式	2sin x cos y = sin(x+y) + sin(x-y) 2cos x sin y = sin(x+y) - sin(x-y) 2cos x cos y = cos(x+y) + cos(x-y) 2sin x sin y = cos(x-y) - cos(x+y)
△ABCの公式
● 正弦定理 ・三角形の２角と一辺が既知のとき他の辺を求める ・外接円の半径を一辺の対向する角から求める	△ABC の外接円の半径R,三辺をa,b,c，辺に対向する角をA,B,Cとおくと a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
[演習1] a cosA =b cosBの△ABCはどんな△か。	a=b (AC=BC) または ∠C=90° [解答] a cosA =b cosB a/b=cosB/cosA 正弦定理より a/sinA=b/sinB=2R a/b=sinA/sinB sinBcosB=sinAcosA sin2B=sin2A 2A=2B or 2A+2B=π A=B　or A;+B=π/2
[演習2] △ABCで b=AC=6,∠Ｂ＝45°,∠Ｃ＝60°の時のc=ABとa=BCを求めよ。	[解答] 2R=b/sin45°=6√2, c=2Rsin60°=6√2*(1/2)=3√2 a=2Rsin(180°-45°-60°）=6√2sin(30°+45°)  =6√2(sin30°cos45°+cos30°sin45°)  =3(1+√3)
●余弦定理[第２定理] ・△ABCの３辺a,b,cから∠A,∠B,∠Cを求める ・二辺とその間の角から他の一辺を求める。	cos^2 A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos^2 B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos^2 C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
●余弦第一定理	a = b cosC + c cosB b = a cosC + c cosA c = a cosB + b cosA
●三辺の条件	|a-b|＜c＜a+b |b-c|＜a＜b+c |a-c|＜b＜a+c
三角形の面積公式	面積S，３辺を a，b，c，s = (a+b+c)/2，頂角をA，B，Cとおく
●ヘロンの公式 ●二辺挟角 ●二角挟辺	S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} S = (ab sin C)/2 = (bc sin A)/2 = (ac sin B)/2 S =(a^2)sinB sinC/(2sinA) =(b^2)sinA sinC/(2sinB) =(c^2)sinA sinB/(2sinC)
頂角に関する公式
sin (A+B) = sin C sin (B+C) = sin A sin (A+C) = sin B	cos (A+B) = - cos C cos (B+C) = - cos A cos (A+C) = - cos B
sin(A)*sin(B)*sin(C) cos(A)*cos(B)*cos(C) tan(A)*tan(B)*tan(C)	=cos(A)*cos(B)*sin(C)+cos(A)*sin(B)*cos(C)+sin(A)*cos(B)*cos(C) =cos(A)*sin(B)*sin(C)+sin(A)*cos(B)*sin(C)+sin(A)*sin(B)*cos(C) -1 =tan(A)+tan(B)+tan(C)
三角関数の逆関数
sin^(-1) x : x=−π/2〜π/2 cos^(-1) x : x= 0〜π tan^(-1) x : x=−π/2〜π/2	sin^(-1) x + cos^(-1) x = π/2 sin^(-1) x =  cos^(-1) √(1- x^2) cos^(-1)  x = sin^(-1) √(1-x^2) tan^(-1) x = cot^(-1) (1/x) tan^(-1) (1/x) = cot^(-1) x tan^(-1) x + cot^(-1) x = π/2
sin^(-1) (1/2) = cos^(-1) (√3/2) = π/6 cos^(-1) (1/2) = sin^(-1) (√3/2) = π/3 sin^(-1) (1/√2) = cos^(-1) (1/√2) =π/4	tan^(-1) √3 = cot^(-1) (1/√3) = π/3 cot^(-1) √3 = tan^(-1) (1/√3) = π/6 tan^(-1) 1 = cot^(-1) 1 = π/4
角の２等分線の定理	�僊BC,3辺a,b,c,∠Aの2等分線と辺BCの交点D, ∠Aの外角の2等分線と辺BCの延長との交点E
AB:AC	AB:AC=BD:DC=BE:EC
チェバの定理(1)	△ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂ、Ｃと、三角形の内部にある点Ｏを結ぶ直線が、それぞれ対辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢと交わる点をＰ、Ｑ、Ｒとする
チェバの定理(1)	チェバの定理の拡張(2)
	チェバの定理の拡張(3)
[演習]△ABCにおいて、∠Aは鈍角で、∠Bは30°であ る。点Cから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。辺BCの中点をMとし、直線ACは三点、A、B、Mを通る円と 点Aで接しているとする。 ACとHMの交点をK、直線BKとHCの交点をLとする。△HBK/△BCK（面積比）を求めよ。	[解答] △HBK/△BCK=HL/CL チェバの定理より HL/CL*CM/BM＊BA/AH＝１ AC^2=MC*BC=(1/2)BC^2 AC=HC*√2=BC*√2/2 BC=AC√2 BA=BH-AH=BC*(√3)/2-(1/2)BC=BC*(√3-1)/2 HL/CL=BM*AH/(CM*BA)=AH/BA=(1/2)BC/(BC(√3-1)/2) =(√3+1)/2
メネラウスの定理	△ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂ、Ｃと、辺BCの延長線上にある点Pを通る直線が、それぞれ対辺ＣＡ、ＡＢと交わる点をＱ、Ｒとする
△ABCの外心O(X,Y)・半径r	A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2)： (X-a1)^2+(Y-a2)^2=r^2, (X-b1)^2+(Y-b2)^2=r^2, (X-c1)^2+(Y-c2)^2=r^2 Y-(a2+b2)/2=-{(b1-a1)/(b2-a2)}{X-(a1+b1)/2}, Y-(a2+c2)/2=-{(c1-a1)/(c2-a2)}{X-(a1+c1)/2}, Y-(b2+c2)/2=-{(c1-b1)/(c2-b2)}{X-(b1+c1)/2} (X,Y)=1/{2*(x2y3-x3y2+x1y2-x2y1+x3y1-x1y3)} ({y3*(x2^2-x1^2+y2^2-y1^2)+y1*(x3^2-x2^2+y3^2-y2^2)+y2*(x1^2-x3^2+y1^2-y3^2)},  -{x3*(x2^2-x1^2+y2^2-y1^2)+x1*(x3^2-x2^2+y3^2-y2^2)+x2*(x1^2-x3^2+y1^2-y3^2)}) r=√{(X-a1)^2+(Y-a2)^2} or r=√{(X-b1)^2+(Y-b2)^2} or r=√{(X-c1)^2+(Y-c2)^2}
△ABCの内心O(X,Y)・半径r	BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) r=S/s= X= ,Y=
△ABCの重心(X,Y)	A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2)： X=(a1+b1+c1), Y=(a2+b2+c2)
△ABCの垂心(X,Y)
△ABCの傍心O(X,Y)・半径r
線分ABの垂直二等分線L	A(a1,a2),B(b1,b2) L:y-{(a2+b2)/2}=-{(b1-a1)/(b2-a2)}[x-{(a1+b1)/2}] L:(2x-a1-b1)(b1-a1)+(2y-a2-b2)(b2-a2)=0
ベクトル計算	△ABCと同じ平面上に点Pがあり、3(→PA)+4(→PB)+5(→PC)＝k(→BC)…(A) を満たしている。 ただしkは定数とする。 （１）このとき(→AP)を (→AB)と(→AC)を使って表せ。 （２）点Pが辺AB上にあるときのkを求め、(→AP)を(→AB)を使って表せ。 このとき、点Pは線分ABを内分する内分比を求めよ。
	簡単の為ベクトル（→AB)を(/AB)と書くことにする。 （１） (/BC)=(/AC)-(/AB) (/PB)=(/PA)+(/AB) (/PC)=(/PA)+(/AC) 式(A)から (/AP)=(4/3)(/PB)+(5/3)(/PC)-(k/3)(/BC) =(9/3)(/PA)+{(4+k)/3}(/AB)+{(5-k)/3}(/AC) 4(/AP)={(4+k)/3}(/AB)+{(5-k)/3}(/AC) ∴(/AP)={(4+k)/12}(/AB)+{(5-k)/12}(/AC) （２） 点PがAB上にあるとき(/AC)の係数=0とすればよいから (5-k)/12=0　∴k=5 この時 (/AP)={(4+k)/12}(/AB)=(3/4)(/AB) (/PB)=(/AB)-(/AP)=(1/4)(/AB) ∴|(/AP)|:|(/PB)|=3:1

初版:2007.04.01
Updare:2007.6.1
Update:2008.01.27
Update:2012.04.11/20/21