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立体の表面積
 
Author: Mathcot
 
初版:2007.7.8
 
Last Update: 2007.12.16

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回転体の表面積

x軸の周りの回転
曲線y=f(x)をxの範囲[a,b]でx軸の周りに回転させた時にできる立体の表面積S
半径yの微小な厚さdxの円盤の表面積=(円周2πy)×(幅「dx」)と
曲面の微小な曲線の長さ=√(1+(dy/dx)2の積が,回転立体の表面積になるから
[a,b]の範囲で積分すれば回転立体の表面積Sの式が得られる。
 
 S=2π∫[a,b] y√{1+(y')^2}dx

y軸jの周りの回転
 

 S=2π∫[a,b] x√{1+(1/y')^2}dy 
 
 
直線y=xの周りの回転
 
 S=2π∫- dx

一般の曲面の表面積

S= ∫_D √( 1 + f_x^2 + f_y^2 ) dxdy
S= ∫_D (∂r/∂u)×(∂r/∂v) dudv
 
ヤコビアン

dS=(∂(y,z)/∂(u,v),∂(z,x)/∂(u,v),∂(x,y)/∂(u,v)) dudv
 
ヤコビアンの性質

∂(x,y)/∂(u,v)=-∂(y,x)/∂(u,v),
∂(y,z)/∂(u,v)=-∂(z,y)/∂(u,v),
∂(z,x)/∂(u,v)=-∂(x,z)/∂(u,v),

正の符号を取る変換を向きを保つ座標変換と呼ぶ。

参考URL
[1]回転体の表面積
[2]三次元空間に埋め込まれた曲面の面積積分の面積要素
[3]曲面
[4]面積素と微分形式
[5]
[6]



[例題1] y=sin(x), x=0〜πをx軸の周りに回転してできる立体の表面積を求めなさい。

[解答1]

y'=cos(x)

S=

[例題2] z=1-x^2-y^2 (z≦1) の曲面の表面積Sを求めなさい。
 
[解答2]
 
y=0とおいたときの放物線z=1-x^2 (z≦1)をz軸の周りに回転した立体の表面積と同じであるから

積分範囲:[0,1]で以下の積分をする。

S=2π∫x√{1+(dx/dz)^2}dz=2π∫√(1-z)√[1+1/{4(1-z)}]dz=2π∫√{(5/4)-z}dz

=








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