| 公式 lim[x→0] (1+x)^(1/x)=lim[x→∞] {1+(1/x)}^(x)=e (≒2.718281828) lim[x→∞] (1+x)^(1/x)=lim[x→0] {1+(1/x)}^(x)=1 lim[x→+0] x ln(x)=0 lim[x→+0] (x^2) ln(x)=0 lim[x→∞] {ln(1+x)}/x=lim[x→0] x ln{1+(1/x)}=0 lim[x→0] {ln(1+x)}/x=lim[x→∞] x ln{1+(1/x)}=1 |
| [演習1] 自然数n、a＞１とする。 x→∞の時の次の分数関数の極限値を求めなさい。 x^n/a^x
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| [解答1] 明らかに∞/∞型である。ロピタルの定理を繰り返して適用して極限値を求める。分子x^nはn回微分すれば定数になるから、分子分母をｎ回微分してみる。 分子は「n!」になる。 分母は「(a^x) ( ln a)^n」になる。 したがって、ロピタルの定理をn回繰り返すと(定数)/∞型となって極限値が求められる。 x^n/a^x → { n!/( ln a)^n }/a^x → 0 ( x→∞ )
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| [演習2] x→+0のとき、x^xの極限値を求めなさい。 |
| [解答2] x→+0のとき x^x → 1 |
| [演習3] x→+0のとき、y=(e^x+9x)^(4/x) の極限値を求めなさい。 |
| [解答3] ln y=(4/x) ln (e^x+9x)=4*{ln (e^x+9x)}/x→4*{ln (e^x+9x)}'/1=4*(e^x+9)/(e^x+9x)=40/1=40 x→+0のとき y→ e^40 |