| 定義： 留数 関数f(z) が領域D でz = z0 を除いて正則な１価関数であるとき，領域 D の内部にあってz0 を内部に含む区分的に滑らかなJourdan 曲線C をとれば，積分 (1/2πi)∮c f(z) dz の値は曲線C のとりかたによらない。この値を関数f(z) の点z0 における留数とい い，Res(z0)，あるいはR(z0) と表す。 |
| 正則な点：Res(z0)=(1/2πi)∮c f(z) dz=0 |
| 孤立特異点： z = z0 がf(z) の孤立特異点であるなら， 適当な正定数R1 があって，0 <| z － z0 | < R1 の各点で f(z) は正則であり，Laurent 級数展開できる： f(z) =Σn=-∞∞an(z － z0)n =Σn=0∞an(z － z0)n + b1/(z － z0) + b2/(z － z0)2 + · · · bn =a-n=(1/2πi) ∮c f(z)/(z － z0)－n+1 dz ( n = 1, 2, · · · ) ここで，C は0 < | z － z0 | < R1 内の正方向のJordan 曲線である。 このとき，b1 がf(z) のz0 における留数である： n = 1 : b1=a-1 = (1/2πi)∮c f(z) dz この時 ∮c f(z) dz = 2πi b1=2πi a-1 |
| Res f(z)z=z0=a-1={1/(n-1)!} limz=z0 (d/dz)n-1(z-z0)nf(z) |
| 留数定理 関数f(z) が 正の向きをもつJordan 曲線C の上と内部で，その内部にある有限個の特 異点z1, z2, · · ·, zn を除いて正則な１価関数であるとき ∮c f(z) dz = 2πi [Res(z1) + Res(z2) + · · · + Res(zn)] が成り立つ。 |
| Laurent級数展開一覧表 |
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| f(z) [z=aの回りに展開] |
Laurnt展開 |
| 1/sin(z), [z=0] | 1/z+(1/6)z+(7/360)z3+(31/15120)z5+0(z6) |
| 1/(z sin(z)), [z=0] | 1/z2+(1/6)+(7/360)z2+(31/15120)z4+(127/604800)z6+0(z7) |
| z/sin(z), [z=0] |
1+(1/6)z2+(7/360)z4+(31/15120)z6+(127/604800)z8+0(z9) |
| z/sin(z), [z=π] |
-π/(z-π) -1-(π/6)(z-π)-(1/6)(z-π)2-(7π/360)(z-π)3+0((z-π)4) |
| z/sin(z), [z=nπ] n=±1 |
-+π/(z-+π) -1-+(π/6)(z-+π)-(1/6)(z-+π)2-+(7π/360)(z-+π)3+0((z-+π)4) (複合同順) |
| z/sin(z), [z=nπ] n=±2 |
±2π/(z-+2π) +1±(π/3)(z-+2π)+(1/6)(z-+2π)2±(7π/180)(z-+2π)3+0((z-+2π)4) (複合同順) |
| z/sin(z), [z=nπ] n=±3 |
-+3π/(z-+3π) -1-+(π/2)(z-+3π)-(1/6)(z-+3π)2-+(7π/120)(z-+3π)3+0((z-+3π)4) (複合同順) |
| z/sin(z), [z=nπ] n=±4 |
±4π/(z-+4π) +1±(2π/3)(z-+4π)+(1/6)(z-+4π)2±(7π/90)(z-+4π)3+0((z-+4π)4) (複合同順) |
| [Maple10]によるLanrent展開 |
| [演習1] z/sin(z)の極を求めよ。 [解答] sin(z) =0 から z=±nπ(n=0,±1,±2,…) [注] z/sin(z)→1(z→0)なのでz=0は除去可能な特異点である。 |
| [演習2] z/sin(z) をz=0の回りにローレン展開せよ。 [解答] ＞with(numapprox): laurent(z/(sin(z)),z=0,10); 1+(1/6)z2+(7/360)z4+(31/15120)z6+(127/604800)z8+0(z9) [別解] ＞ series(z/sin(z),z=0,10); 1+(1/6) z2+(7/360)z4+(31/151210)z6+(127/604800)z8+O(z9) ＞ type(%,laurent) true |
| [演習3] f(z)=1/{z3(z-2)2} を z=2 の回りでローラン展開せよ。 |
| [解答] ＞ with(numapprox); laurent(1/(z^3*(z-2)^2), z = 2, 10) (1/8)/(z-2)2-(3/16)/(z-2)+(3/16)-(5/32)(z-2)+(15/128)(z-2)2-(21/256)(z-2)3 +(7/128)(z-2)4-(9/256)(z-2)5+(45/2048)(z-2)6-(55/4096)(z-2)7+O((z-2)8) [別解] ＞ (z-2)-2*series(1/z3, z = 2); (1/(z-2)2)((1/8)-(3/16)(z-2)+(3/16)(z-2)2-(5/32)*(z-2)3+(15/128)(z-2)4 -(21/256)(z-2)5)+O((z-2)6)/(z-2)2 |
| [Maxima]によるLanrent展開 |
| [演習1] z/sin(z) をz=0の回りにローレン展開せよ。 [解答] (%i1) taylor(z/sin(z),z,0,10); (%o1) 1+z^2/6+(7*z^4)/360+(31*z^6)/15120+(127*z^8)/604800+(73*z^10)/3421440+... |
| [演習2] f(z)=1/{z3(z-2)2} を z=2 の回りでローラン展開せよ。 |
| [解答] (%i2) taylor(1/(z^3*(z-2)^2),z,2,2); (%o2) 1/(8*(z-2)^2)-3/(16*(z-2))+3/16-(5*(z-2))/32+(15*(z-2)^2)/128+... |
| [演習3] f(z)=tan(z)/z4 をx=0の回りでローラン展開せよ。 |
| [解答] (%i3) (%i19) taylor(tan(z)/z^4,z,0,10); (%o3) 1/z^3+1/(3*z)+(2*z)/15+(17*z^3)/315+(62*z^5)/2835 +(1382*z^7)/155925+(21844*z^9)/6081075+... |
| f(z), [z=aにおける留数] |
留数 |
| 1/sin(z),[z=0] 1/sin(z),[z=π] 1/cos(z),[z=π/2] 1/tan(z),[z=π] |
1 -1 -1 1 |
| [Maple10]による留数を求める |
| [演習1] z/sin(z) のz=0,±π,±2πにおける留数を求めよ。 [解答] ＞f:=z/sin(z);residue(f,z=0);residue(f,z=π);residue(f,z=-π); residue(f,z=2π);residue(f,z=-2π); 0 -π π 2π -2π |
| [演習2] z/sin(πz) のz=0,1,2,3,4における留数を求めよ。 [解答] ＞f:=z/sin(π*z);residue(f,z=0);residue(f,z=1);residue(f,z=2); residue(f,z=3);residue(f,z=4); 0 -1/π 2/π -3/π 4/π |
| [演習3] f(z)=exp(πz)/(z2+1)2 のz=±i における留数を求めよ。 [解答] [Maple10]で ＞ residue(f,z=I);residue(f,z=-I); (1/4)π+I (1/4) (1/4)π-I (1/4) (答) z=iにおける留数(π+i)/4，z=-iにおける留数(π-i)/4， |
| [演習1] I=∫02π 1/(1-2acos t +a2) dt (0<a<1) |
| [解答] sin t, cos t の有理関数の一周積分は cos t=(z+z-1)/2, sin t=(z-z-1)/2 とし置換して計算する。 z = eit= cos t + sin t, z-1= e-it= cos t - sin t |