wxMaximaによるLaplace変換

演習1
t sin(t)のLaplace変換F(s)を求めよ。

(%i1) f:t*sin(t)$
　　　F:laplace(f,t,s);
(%o2) (2*s)/(s^2+1)^2

(答) F(s)=2s/(s²+1)

演習2
F(s)=1/((s+3)(s2+1))を部分分数分解せよ。
[解答]
(%i1) F:1/((s+3)*(s^2+1))$
      partfrac(F,s);
(%o2) 1/(10*(s+3))-(s-3)/(10*(s^2+1))

(答) F(s)=(1/10)/(s+3) -(1/10)s/(s²+1) +(3/10)/(s²+1)

演習3
F(s)=2(s+2)/((s^2+1)(s+1)^2)
の逆ラプラス変換f(t)を求めよ。
[解答]
(%i1) F:2*(s+2)/((s+1)^2*(s^2+1))$
　　　F1:partfrac(F,s);
　　　f:ilt(F1,s,t);
(%o2) (1-2*s)/(s^2+1)+2/(s+1)+1/(s+1)^2
(%o3) sin(t)-2*cos(t)+t*%e^(-t)+2*%e^(-t)
(答) f(t)=sin(t)-2cos(t)+(t+2)e^-t

演習4
微分方程式
y''+2y'+2y=u(t)e^-2t, y'(0)=1, y(0)=-1
をwxMaximaを用いて、Lapalace変換による方法により解け。

[解答]
(%i1) f:diff(y(t),t,2)+2*diff(y(t),t)+2*y(t)=exp(-2*t);
　　　atvalue(diff(y(t),t),t=0,1)$
　　　atvalue(y(t),t=0,1)$
　　　F:laplace(f,t,s);
　　　F1:rhs(solve(F=0,laplace(y(t),t,s))[1]);
　　　F2:partfrac(F1,s);
　　　ilt(F2,s,t);
(%o1) 'diff(y(t),t,2)+2*('diff(y(t),t,1))+2*y(t)=%e^(-2*t)
(%o4) 2*(s*laplace(y(t),t,s)-1)+s^2*laplace(y(t),t,s)
　　　+2*laplace(y(t),t,s)-s-1=1/(s+2)
(%o5) (s^2+5*s+7)/(s^3+4*s^2+6*s+4)
(%o6) (s+6)/(2*(s^2+2*s+2))+1/(2*(s+2))
(%o7) %e^(-t)*((5*sin(t))/2+cos(t)/2)+%e^(-2*t)/2

(答) y(t)=(1/2)(5sin(t)+cos(t))e^(-t) +(1/2)e^(-2t) (t≧0)