index Laplace変換

時間領域 (t≧0)	s領域
δ(t):δ関数(インパルス関数) (d/dt)δ(t)：ダブルインパルス関数 δ(t-a),a≧0	1 s e^-as
-u(t)/t	ln(s)
u(t) e^-t e^-at	1/s 1/(s+1) 1/(s+a)
sin(t) sin(at) t sin(t) cos(t) cos(at) t cos(t)	1/(s² +1) a/(s² +a²) 2s/(s² +a²)² s/(s² +1) s/(s² +a²)
e^-t sin(t) e^-t cos(t) e^-at sin(ωt) e^-at cos(ωt)	-(s-1)² /(s² +1)² 1/(s² +2s+2) (s+1)/(s² +2s+2) ω/{(s-a)² +ω²} (s-a)/{(s-a)² +ω²}
t te^-t te^-at t² e^-t t² e^-at tⁿ e^-at tⁿ tⁿ /n!	1/s² 1/(s+1)² 1/(s+a)² 2/(s+1)³ 2/(s+a)³ n!/(s+a)ⁿ⁺¹ (n!)/sⁿ⁺¹ 1/sⁿ⁺¹
δ(t) u(t) u(t-1) u(t-a) u(t)-u(t-1) u(t-a)-u(t-b),b＞a≧0 u(t)(1-e^-at) u(t)(e^-at -e^-bt)/(b-a),b>a>0	1 1/s (1/s)e^-s (1/s)e^-as (1-e^-s)/s (e^-as -e^-bs)/s a/s(s+a) 1/(s+a)(s+b)
sinh(at) cosh(at) sin(at)/t 1/√t 2√t Bessel関数Jo(at) 修正Bessel関数Io(at)	a/(s² -a²) s/(s² -a²) tan^-1(a/s) √(π/s) √(π/s³) 1/√(s² +a²) 1/√(s²-a²)
f(t-a)u(t-a) tf(t) t² f(t) tⁿ f(t) f(t)/t f(t)/t² f(t)e^-at f(t/a)/a	F(s)e^-as -F'(s)=-dF(s)/ds F"(s)=(d/ds)² F(s) (-1)ⁿ F⁽ⁿ⁾ (s)=(-d/ds)ⁿ F(s) ∫_s ^∞ F(u) du ∫_s ^∞ ∫_v ^∞ F(u) dudv F(s+a) F(as)
f'(t) f"(t) (d/dt)ⁿ f(t) ∫_-∞^t f(t)dt	sF(s)-f(+0) s² F(s)-sf(0+)-f'(+0) sⁿF(s)-s^n-1f(+0)-s^n-2f⁽¹⁾(0)-... -sf^(n-2)(0)-f^(n-1)(0) F(s)/s +(1/s)∫[-∞,+0]f(t)dt
コイル（インダクタンス） v=Ldi/dt i=(1/L)∫_-∞ ^t v dt =(1/L)∫₀₊ ^t v dt+i(0+) (鎖交)磁束Φ=Li保存則： Φ(0-)=Φ「(0+), i(0-)=i(0+)	V(s)=LsI(s)-Li(0+) I(s)=V(s)/(Ls) +i(0+)/s i(0+)=(1/L)∫_-∞ ⁰⁺ v dt
コンデンサ（静電容量） v=(1/C)∫-∞ t i dt i=Cdv/dt 電荷q=Cv保存則： q(0-)=q(0+), v(0-)=v(0+)	V(s)=I(s)/(sC) +v(0+)/s v(0+)=(1/C)∫-∞ 0+ i dt=q(0+)/C I(s)=CsV(s)-Cv(0+) q(0+)=Cv(0+)
f(t)g(t)=∫[0,∞]f(τ)g(t-τ)dτ =∫[0,∞]f(t-τ)*g(τ)dτ	F(s)G(s)
f(t)g(t)	F(s)*G(s)
周期T の関数f(t),t≧0,f(t+T)=f(t) 周期Tの関数g(t),t≧0,g(t+T)=-g(t)	1/{1- exp(-sT)}・∫[0,T] f(t)exp(-st)dt 1/{1+exp(-sT)}・∫[0,T] g(t)exp(-st)dt

応用例）

R-C回路のインパルス応答、インディシャル応答（ステップ応答）

R=1[Ω], C=1[F] の積分回路の伝達関数
G(s)=1/(s+1)

インパルスδ(t)のLaplace変換
V(s)=1
インパルス応答h(t)
h(t)=L^-1 {G(s)V(s)}=L^-1 {1/(s+1)}=e^-t u(t)

インディシャル応答
単位ステップ関数u(t)のLaplace変換
V(s)=L{u(t)}=1/s
g(t)=L^-1 {G(s)V(s)}=L^-1 {1/s(s+1)}=L^-1 {(1/s)-1/(s+1)}
=(1-e^-t) u(t)

[演習1] [Maple10] による　ステップ関数　f(t)=a u(t) のLaplace変換を求めなさい。
[解答]
＞ f:=a;
　　F:=inttrans[laplace] (f,t,s);
　　f:= a
　　F:=a/s
　∴F(s)=a/s

[演習2] [Maple10] を使って、R-C積分回路の伝達関数G₁(s)=1/(1+RCs) から、ステップ入力 a u(t)に対する出力 f₁(t) を求めなさい。
[解答]　
＞　G1:=1/(1+R*C*s);
　　 f1:=factor(simplify(intrans[invlaplace]((a/s)*G1,s,t)));
　　G1:=1/(1+R C s);
　　f1:=-a(-1+e^-t/RC);
　∴f₁(t)=a(1-e^-t/RC) u(t)

R=1[Ω], C=1[F] の微分回路の伝達関数
G(s)=s/(s+1)

インパルスδ(t)のLaplace変換
V(s)=1
インパルス応答h(t)
h(t)=L^-1 {G(s)V(s)}=L^-1 {s/(s+1)}=L^-1 {1- 1/(s+1)}=δ(t)-e^-t

インディシャル応答
単位ステップ関数u(t)のLaplace変換
V(s)=L{u(t)}=1/s
g(t)=L^-1 {G(s)V(s)}=L^-1 {1/s(s+1)}=L^-1 {(1/s)-1/(s+1)}
=1-e^-t

[演習3] [Maple10] を使って、C-R微分回路の伝達関数G₂(s)=RCs/(1+RCs) から、ステップ入力 a u(t)に対する出力 f₂(t) を求めなさい。
[解答]　
＞　G2:=R*C*s/(1+R*C*s);
　　f2:=factor(simplify(intrans[invlaplace] ((a/s)*G2,s,t)));
　　G2:=R C s/(1+R C s);
　　f2:=a e^-t/RC ;
　∴f₂(t)=a e^-t/RC) u(t)

[演習4] [wxMaxima]を使って単位ステップ関数の波形をプロットしなさい。
y=u(t), プロット範囲：t=-0.5～5, y=-0.5～1.5

[解答]
(%i 1) wxplot2d([signum(t)], [t,-1,10], [y,-0.5,1.5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis;"], [nticks,5])$
Output file　"C:/Documents and Settings /userid/maxout.png".

(%t 1)

[演習5] [wxMaxima]を使って f(t)=sin(t)u(t) のLaplace変換を求めなさい。

「解答]
(%i 2) laplace(sin(t),t,s);
(%o 2) 1/(s² +1)

[演習6] f(t)=sin(t),g(t)=cos(t) (t≧0)について畳み込みx(t)=f(t)*g(t)　(t≧0)を求めよ。

[解答] Maximaを使用して解答する。
(%i1) F:laplace(sin(t),t,s);G:laplace(cos(t));X:F*G;
(%o1) 1/(s^2+1)
(%o2) s/(s^2+1)
(%o3) s/(s^2+1)^2
(%i4) X1:factor(integrate(X,s,s,inf));
(%o4) (1/2)/(s^2+1)
(%i5) x:t*ilt(X1,s,t);
(%o5) (t/2)*sin(t)
x(t)=(t/2)*sin(t)

[演習7] f(t)=1-at,g(t)=e^(at) (t≧0,a>0)について畳み込みx(t)=f(t)*g(t)　(t≧0)を求めよ。

[解答] Maximaを使用して解答する。
(%i1) assume(a>0);F:laplace(1-a*t,t,s);G:laplace(exp(a*t),t,s);X:partfrac(F*G,s);
(%o1) (1/s)-(a/s^2)
(%o2) 1/(s-a)
(%o3) 1/s^2
(%i4) X1:factor(integrate(X,s,s,inf));
positive
(%o4) 1/s
(%i5) x:t*ilt(X1,s,t);
(%o5) t
x(t)= t (t≧0)

[演習8] f(t)=sin(2πt) （0≦t≦1）,g(t)=δ(t)+2δ(t-1)-3δ(t-2) (t≧0)について
畳み込みx(t)=f(t)*g(t)　(t≧0)を求めよ。

[解答] Maximaを使用して解答する。
(%i1) f:sin(2*%pi*t);g:delta(t)+2*delta(t-1)-3*delta(t-2);F1:laplace(f,t,s);
      F:F1*(1-exp(-s));G:laplace(g,t,s);X:F*G;expand(%);
(%o1) sin(2*%pi*t)
(%o2) delta(t)+2*delta(t-1)-3*delta(t-2)
(%o3) (2*%pi)/(s^2+4*%pi^2)
(%o4) (1-%e^(-s))*(2*%pi)/(s^2+4*%pi^2)
(%o5) 2*%e^(-s)-3*%e^(-2*s)+1
(%o6) (2*%e^(-s)-3*%e^(-2*s)+1)*(1-%e^(-s))*(2*%pi)/(s^2+4*%pi^2)
(%o6) (6*%pi)/(s^2*%e^(3*s)+4*%pi^2*%e^(3*s))
      -(10*%pi)/(s^2*%e^(2*s)+4*%pi^2*%e^(2*s))
      +(2*%pi)/(s^2*%e^s+4*%pi^2*%e^s)
      +(2*%pi)/(s^2+4*%pi^2)
(%i7) x:ev(ilt(6*%pi/(s^2+4*%pi^2),s,t),t=t-3)
      -ev(ilt(10*%pi/(s^2+4*%pi^2),s,t),t=t-2)
      +ev(ilt(2*%pi/(s^2+4*%pi^2),s,t),t=t-1)
      +ilt(2*%pi/(s^2+4*%pi^2),s,t);
(%o7) 3*sin(2*%pi*(t-3))-5*sin(2*%pi*(t-2))+sin(2*%pi*(t-1))+sin(2*%pi*t)
x(t)= 3*sin(2π(t-3))u(t-3)-5*sin(2π(t-2))u(t-2)+sin(2π(t-1))u(t-1)+sin(2πt) (t≧0)

逆ラプラス変換

[演習1] F(s)=1/(s³ -6s² +11s -6)　について、[Maple10]を使い、部分分数展開せよ。
また、逆ラプラス変換ｆ(t) を求めよ。
[解答] L^-1{1/(s³ -6s² +11s -6) }
[Maple10]

f(t) = (1/2) e^t -e^2t +(1/2) e^3t (t≧0)

[演習2] F(s)=1+(3-8s)/(s² +2s+2)　について、[Maple10]を使い、部分分数展開せよ。
また、逆ラプラス変換ｆ(t) を求めよ。

[解答]
[Maple10] を使用して
＞

F(s)=

= 1+ F₁(a)
更に、[Maple10] を使用してF₁(s- 1)を部分分数展開すると

＞

F1(s-1)=

F(s)=1+ (11-8s)/(s² +1)|s=s+1
f(t)=δ(t)+{11 sin(t)-8 cos(t)}　e^-t　 (t≧0)

[演習3] F(s)=1/{s(s²+a²)} , (a>0) について、[Maple10]を使い、部分分数展開せよ。
また、逆ラプラス変換ｆ(t) を求めよ。
[解答] F(s)=1/{s(s²+a²)}
[Maple10] を使用して

[演習4] F(s)=(s+3)/(s²-2s+2) について、[Maple10]を使い、逆ラプラス変換ｆ(t) を求めよ。
[解答]
[Maple10] を使用して
＞ F:=ln((s-1)/s):
ft:=inttrans[invlaplace](F,s,t);
ft:=(1-e^t)/t
∴f(t)=(1-e^t)/t

[演習5] F(s)=(s+3)/(s²-2s+2) について、[Maple10]を使い、逆ラプラス変換ｆ(t) を求めよ。
[解答]
[Maple10] を使用して
＞ F:=simplify(eval((s+3)/(s²-2s+2),s=s+1);
   ft:=exp(t)*inttrans[invlaplace](F,s,t);
   F:=(s+4)/(s²+1)
   ft:=e^t(cos(t)+4sin(t))
∴f(t)=e^t(cos(t)+4sin(t))