| 2次元座標での曲線の長さ |
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陽関数
xb
∫xa √(1+y'2)dx
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媒介変数
tb
∫ta (x'2+y'2)dt
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極座標
θb
∫ √(r2+r'2) dθ
θa
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[問題]放物線曲線 y=x2/4のx=0〜2の長さを求めよ。
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[解答]∫[0→2] √{1+y'2}dx
=∫[0→2] √{1+(x/2)2}dx
x=2tan(t)と置換すると、積分範囲は[x：0→2]→[ｔ：0→π/4], dx=2/cos2(t) dt, √{1+(x/2)^2}=1/cos(t)より
=∫[0→(π/4)] {2/cos3(t)}dｔ
u=sin(t)と置換すると、積分範囲は[t：0→π/4]→[u：0→1/√2],
du=cos(t)dt, {1/cos3(t)}dt={1/(1-u2)2}du
=∫[0→1/√2] {2/(1-u2)2}du
=(1/2)∫[0→1/√2] {1/(u+1)-1/(u-1)+1/(u+1)2+1/(u-1)2}du
=(1/2) [ln |(u+1)/(u-1)|+2u/(1-u^2)]|[0→1/√2]
=(1/2){2ln(1+√2)+2√2}
=√2+ln(1+√2)
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２次元線積分：∫C f・ds
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∫C f(x,y)ds=∫C {fx(x,y)dx+fy(x,y)dy}
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[内積]∫c fs*ds , ds=|dr|=√(dx2+dy2)=√(1+ y'2) dx}
dr=i dx+j dy
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fxy(x,y)=fyx(x,y)なら 積分は経路Cの始点と終点のみに依存し、途中の経路には依存しない。
fxy(x,y)≠fyx(x,y)なら 積分は経路Cに依存する。経路Cのとり方で積分値が異なる。
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[問題] 次の経路 C：(1,1)→(2,2)に沿った線積分を求めなさい。
I =∫C ( yexy dx + xexy dy )
[注]
∂(yexy)/∂y=(1+xy)exy
∂(xexy)/∂x=(1+xy)exy
∂(yexy)/∂y=∂(xexy)/∂x
なので経路Cによらない線積分です。
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[解答] 経路C=C1+C2と分解する。
ここで, C1：(1,1)→(2,1), C2：(2,1)→(2, 2)とすると
I = ∫_c1 ( yexydx + xexydy )+∫_c2 ( yexydx + xexydy )
= ∫[x：1→2] 1*e^(x*1)dx +∫[y：1→2] 2e^(2y)dy
= e^x | [x：1→2] + e^(2y) | [y：1→2] =e^2 -e + (e^4 - e^2) =e^4 -e
[別解1] 経路Cをベクトルで表せば
(x,y)=(1,1)+t(1,1)=(1+t,1+t), (0≦t≦1)
従ってx=y=1+t と置換すると 0≦t≦1, dx=dt, dy=dt
I = ∫[0→1] { (1+t)exp{(1+t)2} + (1+t)exp{(1+t)2} dt
= ∫[0→1] 2(1+t)exp{(1+t)2} dt= [exp(1+t)2] [0→1] =e4 -e
[別解2] I = ∫_c d(e^(xy) = [exy] [xy=1→4] = e4 -e |
[問題]∫C ((2x3 + 2xy3)dx + (3yx2 + 2y)dy)
Cの始点(-1,-2),終点(1,2)の線積分が経路に依存することを示せ。
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| ３次元線積分：∫C f(x,y,z)ds
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∫C f(x,y,z)ds=∫C {fx(x,y,z)dx+fy(x,y,z)dy+fz(x,y,z)dz}
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[内積]∫c fs*ds , ds=|dr|=√(dx2+dy2+dz2)=√(1+ y'2+ z'2) dx}
dr=i dx+j dy+k dz |
fxy=fyx,fzx=fxz,fyz=fzyなら 積分は経路Cの始点と終点のみに依存し、途中の経路には依存しない。
それ以外なら 積分は経路Cに依存する。経路Cのとり方で積分値が異なる。
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