| (x/a)2+(y/b)2=1 y=(b/a)√(a2-x2) y'=-bx/{a√(a2-x2)} y"=-b/{a√(a2-x2)}-b(x^2)/{a(a2-x2)3/2} =-ab/(a2-x2)3/2 楕円上の点P(t,(b/a)√(a2-t2)) 接線：y=-bt[(x-t)/{a√(a2-t2)}]+(b/a)√(a2-t2) 法線：y=[(x-t){a√(a2-t2)}/bt]+(b/a)√(a2-t2) 曲率半径：R={a4-(a2-b2)t2}3/2/(a4b) 最大値：t=0の時 a2/b, 最小値：t=aの時 b2/a 曲率円の中心：( t3(a2-b2)/a4,(a2-b2){(a2-t2)3/2}/(ba3)) 曲率円の中心軌跡：(a|x|)2/3+(b|y|)2/3=(a2-b2)2/3 例：a=2,b=1の場合 黒：楕円(x/2)2+y2=1 赤：曲率最大円B：x2+(y+3)2=16と最小円A:(x-(3/2))2+y2=1/4 青：任意点Tを通る曲率円C:{x-(3t3/16)}2+{y-(3/8)(4-t2)3/2}2={(16-3t2)3}/256 灰：任意点Tにおける法線：2y={(x-t)(4/t)+1}(4-t2)1/2 紫：曲率円中心Cの軌跡：(2|x|)2/3+(|y|)2/3=32/3  |
| [問題2] 楕円x^2+4y^2=1上の点(0,1/2)における曲率円の方程式を求めよ。 [解答] [Maxima使用]の別の解法 楕円x^2+4y^2=1上の点(a,b),(-a,b),(0,1/2)を通る円は 3点(a,b),(c,d),(e,f)を通る円の公式 ((cf-de)+(eb-fa)+(ad-bc))(x2+y2) -((a2+b2)(d-f)+(c2+d2)(f-b)+(e2+f2)(b-d))x -((a2+b2)(e-c)+(c2+d2)(a-e)+(e2+f2)(c-a))y =(a2+b2)(cf-de)+(c2+d2)(eb-fa)+(e2+f2)(ad-bc) で、c=-a,d=b,e=0,f=1/2 とおいて整理すれば、 (%i5) z:ev(((c*f-d*e)+(e*b-f*a)+(a*d-b*c))*(x^2+y^2)-((a^2+b^2)*(d-f)+(c^2+d^2)*(f-b)+(e^2 +f^2)*(b-d))*x-((a^2+b^2)*(e-c)+(c^2+d^2)*(a-e)+(e^2+f^2)*(c-a))*y=(a^2+b^2)*(c*f -d*e)+(c^2+d^2)*(e*b-f*a)+(e^2+f^2)*(a*d-b*c),[c=-a,d=b,e=0,f=1/2]); (%o5) (2*a*b-a)*(y^2+x^2)+(a/2-2*a*(b^2+a^2))*y-((b-1/2)*(b^2+a^2)+(1/2-b)*(b^2+a^2))*x=(a*b)/2-a*(b^2+a^2) a^2+b^2=1-3*b^2を代入 (%i6) z1:(2*a*b-a)*(y^2+x^2)+(a/2-2*a*(1-3*b^2))*y-((b-1/2)*(1-3*b^2)+(1/2-b)*(1-3*b^2))*x=(a*b)/2 -a*(1-3*b^2); (%o6) (2*a*b-a)*(y^2+x^2)+(a/2-2*a*(1-3*b^2))*y+(-(b-1/2)*(1-3*b^2)-(1/2-b)*(1-3*b^2))*x=(a*b)/2-a*(1-3*b^2) (%i8) z2:factor(expand(z1)); (%o8) (a*(2*b-1)*(2*y^2+6*b*y+3*y+2*x^2))/2=(a*(2*b-1)*(3*b+2))/2 (%i9) z3:z2/(a*(2*b-1)); (%o9) (2*y^2+6*b*y+3*y+2*x^2)/2=(3*b+2)/2 (%i14) z4:factor(ev(z3,b=1/2)); (%o14) y^2+3*y+x^2=7/2^2 (%i15) z5:x^2+(y+3/2)^2=2^2; (%o15) (y+3/2)^2+x^2=4  |