根軌跡・交点軌跡・動点軌跡・曲線の移動軌跡の領域


著者：Mathcot

初版: 2007.8.5

LastUpdate: 2007.9.16

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垂線の足の軌跡
楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>0,b>0)…(1) の接線y=cx+d…(2) に原点から下した垂線の足の軌跡を求めよ。	y=cx+dを楕円の式に代入して接する条件を判別式=0から求めると d^2=(b^2)+(a^2)(c^2)…(3) 接点の座標P(X,Y)はX=-(a^2)c/d, Y=d+cX=(b^2)/d…(5) 接線に下した垂線の方程式：x+cy=0…(6) 垂線の足（x,y）=(-cd/(1+(c^2)),d/(1+(c^2)))…(7) (3),(7)からc,dを消去した垂線の足の軌跡：((x^2)+(y^2))^2=(a^2)(x^2)+(b^2)(y^2)
点の軌跡
実数(a,b)が円a^2+b^2=1上を満たしながら動くとき、点(X,Y)=(a+b,ab)の軌跡を求めよ。	軌跡の範囲：b=X-a, -1≦X-a≦1, a-1≦X≦1+a, -2≦X≦2 2a^2-2aX+X^2-1=0, X^2-2(X^2-1)=2-X^2≧0, -√2≦X≦√2 Y=ab=(X^2-1)/2, -1/2≦Y≦1/2 X^2-2Y=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2=1 軌跡はY=(1/2)(X^2-1) (|X|≦√2)
曲線の移動軌跡
C: x^2+y^2-2-t(2x+2y-a)=0 任意の実数tに対してCが円となる条件	(x-t)^2+(y-t)^2=2t^2-at+2＞0 判別式D=a^2-16＞0 ∴-4＜a＜4
a=3、実数t＞0の時、円Cの存在領域	t=(x^2+y^2-2)/(2x+2y-3)＞0 ∴(x^2+y^2-2)(2x+2y-3)＞0
a=5、実数t＞0の時、円Cの存在領域	0＜t=(x^2+y^2-2)/(2x+2y-5)＜1/2 ∴x^2+y^2-2＜0
接線移動軌跡の領域
曲線C:y=f(x)=x^4+2ax^2+4ax+1に異なる2点で接する接線Lの軌跡の存在領域を求めよ。ただし、aは実数の定数。	y=f(x)の異なる2点で接する接線：y=bx+cとおくと y=g(x)=f(x)-(bx+c)=x^4+2ax^2+(4a-b)x+(1-c) =(x-d)^2 (x-e)^2とおける。ただし、ｄ≠e 展開式は恒等式であるから未定係数法を適用して定数間の関係を求めると b=4a,c=1-a^2,d=