index

整数（integer）^{１），２），３）}　

整数：

小数点以下が無い数

正整数　1,2,3, ... １以上の正の整数（自然数）
0　　　　ゼロ
非負整数　正整数とゼロをあわせた整数
負整数　-1,-2,-3, ... 　負の整数（-1以下の整数）
非正整数　負整数とゼロをあわせた整数

偶数と奇数

偶数(even number)^１）　

２で割り切れる整数。
10進数では、末尾が0,2,4,6,8の整数。

n=2m
n mod 2 =0

奇数±奇数は偶数、
偶数±偶数は偶数、
偶数±奇数は奇数、
偶数x偶数は偶数
となる。

奇数(odd number)^１）　

２で駆り切れない整数。
10進数では、末尾が1,3,5,7,9の整数。

奇数±奇数は偶数、
偶数±奇数は奇数、
奇数ｘ奇数は奇数、
奇数x偶数は偶数
となる。

べき乗（冪乗）

1ⁿ＝1 (nは整数), 1⁰＝1
(-1)ⁿ＝１（nが偶数)，(-1)ⁿ＝-1 (nが奇数)
0ⁿ＝0 (nが正整数のとき)
0⁰ は未定義
（便宜上、数学の領域により 0⁰=1 あるいは 0⁰=0 と定義する場合がある。）

自然数^{１），２）}　

高校までの数学では正の整数。
大学以降の数学では通常は正の整数を指すが、
特殊な分野では0(ゼロ)も自然数として扱う場合もある。

有理数^{１），２）}　

整数を整数で割った比の形であらわさた数。（ただし、分母は負で無い整数）
有理数（既約分数）は小数にすると

有限小数

2/5=0.4,
11/8=1.375

または
無限循環小数

8/3=2.6666666666 …,
5/11=0.45 45 45 45 …,
20/7=2.85714 285714 2….

となる。

無理数^{１），２）}　

繰り返しのない無限小数、有理数にならない実数のn乗根は無理数である。

√2
√3
√5
√6
√7
√8
√10
√11
√12
√13
√14
√15
1.5^-1/3e
1/e
e²
π
1/(2π)
π²
1/√(2π)
ln 2
ln 3
ln 4
ln 5
ln 6
ln 7
ln 8
ln 9
ln 10
log 2
log 3
log 4
log 5
log 6
log 7
log 8
log 9

1.4142135623730950488016887242097
1.7320508075688772935274463415059
2.2360679774997896964091736687313
2.4494897427831780981972840747059
2.6457513110645905905016157536393
2.8284271247461900976033774484194
3.1622776601683793319988935444327
3.3166247903553998491149327366707
3.4641016151377545870548926830117
3.6055512754639892931192212674705
3.7416573867739413855837487323165
3.8729833462074168851792653997824
0.873580464736298869047220426814
2.7182818284590452353602874713527
0.36787944117144232159552377016146
7.389056098930650227230427460575
3.14159265358979323846264338327956
0.15915494309189533576888376337251
9.8696044010893586188344909998762
0.39894228040143267793994605993438
0.69314718055994530941723212145818
1.0986122886681096913952452369225
1.3862943611198906188344642429164
1.6094379124341003746007593332262
1.7917594692280550008124773583807
1.9459101490553133051053527434432
2.0794415416798359282516963643745
2.1972245773362193827904904738451
2.3025850929940456840179914546844
0.30102999566398119521373889472449
0.47712125471966243729502790325512
0.60205999132796239042747778944899
0.69897000433601880478626110527551
0.77815125038364363250876679797961
0.84509804001425683071221625859264
0.90308998699194358564121668417348
0.95424250943932487459005580651023

(以上はWindows内蔵の関数電卓で計算した結果)
円周率^{１），２）}　

平方根の筆算開閉法^{１），２），３），４），５），６），７），８），９），１０）}　
立方根の筆算開閉法^{１），２），３），４）}　

小数^{１），２）}　

有限小数：

小数点以下が有限の桁数の小数点付の数
ex) 12.3456, 0.035

無限小数^１）：

循環小数：　　小数点以下が繰り返しのある循環小数
　　　　　　　　分数で表現できる。
ex) 1.234 234 234 234 …
　　 21.3124 124 124 124 124 …

非循環小数：　小数点以下が繰り返しの無い無限小数
ex) 円周率πや√2やlog 2など

実数^{１），２）}　

小数点付数値　と　指数部付数値　、　無理数（根号付数値）　循環小数、有理数（分数）などが実数に属する。　

例.　0, 15, -3, 12.52, -524.26, 1.53e-3, -12e52, 3/7, √2, -√3.54, π

素数^{１），２），３），４），５）}　

素数の定義
素数とは、1と自分自身以外の約数を持たない自然数である。
例．2,3,5,7,11, 13, 17,19,23, 29, 31, 37, 41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109, ...

素因数分解

N	素因数	N	素因数	素因数分解
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1,2 1,3 1,2² 1,5 1,2,3 1,7 1,2³ 1,3² 1,2,5 1,11 1,2²,3 1,13 1,2,7 1,3,5 1,2⁴ 1,17 1,2,3² 1,19 1,2²,5	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	1,3,7 1,2,11 1,23 1,2³,3 1,5² 1,2,13 1,3³ 1,2²,7 1,29 1,2,3,5 1,31 1,2⁵ 1,3,11 1,2,17 1,5,7 1,2²,3² 1,37 1,2,19 1,3,13 1,2³,5	[Maxima] (%i1) factor(1234567890); (%o1) 23^2536073803

完全数

完全数の定義
完全数とは、自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。
例．6,28,496,33550336, ...

四則演算、剰余、ガウス記号

階乗

n！＝n x (n-1)x ... x 2x1 (nは非負正整数)
(2n) !!　＝2n x (2n-2)x(2n-4)x ... x 4 x 2 （nは非負整数)
(2n-1) !!　＝(2n-1) x (2n-3)x(2n-5)x ... x 5 x 3 x 1 （nは非負整数)

(2n)!=(2n)!! (2n-1)!!=2ⁿ n! (2n-1)!!

特殊な階乗
0！＝1！＝1 (階乗)
0 !!＝1 !!＝1 (ダブル階乗)

階乗表^{１），２），３）}　
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800

２重階乗^{１），２）}　
1!!=1
2!!=2
3!!=3
4!!=8
5!!=15
6!!=48
7!!=105
8!!=384
9!!=945
10!!=3840

階乗計算サイト^{１），２）}、２重階乗サイト^{１），２）}　　
　

累乗
累乗表^１）　

順列^{１），２），３），４）}と組合せ^{１），２），３），４）}　

順列 nPm=n!/(n-m)!	組合せ nCm=n!/{m!(n-m)!}
[演習] 9P7を求めよ。 [解答][Maxima]で解く。 (%i3) 9!/(9-7)!; (%o3) 181440	[演習] 9C7を求めよ。 [解答][Maxima]で解く。 (%i2) 9!/(7!*2!); (%o2) 36

wxMaxima
関数ルーチンロードが必要
load(functs);
"E:/ProgramFiles/Maxima-5.21.1/share/maxima/5.21.1/share/simplification/functs.mac"

順列 permitation	nPr permutation(n,r);
5P2=5!/(5-2)! =5!/3!=5*4=20	permutation(5,2); 20
組合せ combination	nCr combination(n,r);
5C2=5!/(3!2!) =5*4/2=10	combination(5,2); 10

n進数変換

実数
複素数の扱い
初等関数^{１），２），３）}　

初等関数は一価関数に限る。以下のような関数が含まれる。
複素数を変数とする多項式関数：f(x)=Σ[k=0,n] a_kx^k,

有理関数（分数関数）：h(x)=g(x)/f(x) (f(x), g(x)：多項式関数)

平方根sqrt(x)=√x=x^1/2, 立方根 ³√x=x^1/3

指数関数：e^x=exp(x) , e^f(x), a^b (a>0)

a^x=e^{x ln(a)} =exp(x ln(a)) , a>0
a^f(x)=e^{f(x) ln(a)} , a>0
a^b・a^c=a^b+c , a>0
(a^b)^c=a^bc , a>0

三角関数との関係
オイラー(Euler)の公式
e^ix=cos(x) + i sin(x) ( i=√(-1) )

sin(x)=(e^ix-e^-ix)/(2i)
cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2
tan(x)=sin(x)/cos(x)= -i (e^2ix-1)/(e^2ix+1)

双曲線関数との関係
sinh(x)=(e^x-e^-x)/2
cosh(x)=(e^x+e^-x)/2
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=(e^2x-1)/(e^2x+1)

e^x=sinh(x)+cosh(x)

対数関数：log₁₀(x), log_e(x)=ln(x)

log₁₀(x)=ln(x)/ln(10)
ln(x)=log₁₀(x)/log₁₀(e)
log_a(b)=ln(b)/ln(a)=log₁₀(b)/log₁₀(a)
ln(10)=1/log₁₀(e)

指数関数e^x と自然対数関数 ln(x)=log_e(x) の関係

a=e ^b ⇔ b=ln(a)
y=e^x ⇔ x=ln(y)

y=e^x と y=ln(x) は逆関数の関係

a^b=e^bln(a) (a>0)

y=x^x=e^xln(x) (x>0)
=(-1)ⁿ/nⁿ (x=-n,n=自然数)
=1 (x=0)
=未定義(その他のx)

x^x=nⁿ (x=n,n=自然数)
x^x=(-1)ⁿ/nⁿ (x=-n,n=自然数)
y=x^x の極小値=1/e^1/e (x=1/eの時)

三角関数：sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x)=1/cos(x), csc(x)=1/sin(x)

sin²(x)+cos²(x)=1
tan²(x)+1=sec²(x)=1/cos²(x)
1+cot²(x)=csc²(x)=1/sin²(x)

tan(x)=sin(x)/cos(x)
cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x)

合成公式
A sin(x)+B cos(x)=√(A²+B²) sin(x+θ) , sinθ=B/√(A²+B²), cosθ=A/√(A²+B²)
A sin(x)+B cos(x)=√(A²+B²) cos(x-φ) , sinφ=A/√(A²+B²), cosφ=B/√(A²+B²)

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

積和公式
sinAcosB={sin(A+B)+sin(A-B)}/2
cosAsinB={sin(A+B)-sin(A-B)}/2
cosAcosB={cos(A+B)+cos(A-B)}/2
sinAsinB={cos(A-B)+cos(A+B)}/2

和積公式
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)・cos((A-B)/2)
sinA-sinB=2cos((A+B)/2)・sin((A-B)/2)
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)・cos((A-B)/2)
cosA-cosB= -2sin((A+B)/2)・sin((A-B)/2)

2倍角の公式
sin(2A)=2sinAcosA
cos(2A)=cos²A-sin²A=1-2sin²A=2cos²A-1
tan(2A)=2tanA/(1-tan²A)

3倍角の公式
sin(3A)=3sinA－4 sin ³ A
cos(3A)=4 cos ³ A－3cosA

4倍角の公式
sin(4A)=4sinA cos ³ A－4sin ³ A cosA
cos(4A)=8sin ⁴ A－8sin ² A+1=8cos ⁴ A－8cos ² A+1

半角の公式
sin ² (A/2) = (1－cosA)/2, sin ² (A) = (1－cos(2A))/2
cos ² (A/2) = (1+cosA)/2, cos ² (A) = (1+cos(2A))/2
tan²(A/2)= (1－cosA)/(1+cosA), tan²(A)= (1－cos(2A))/(1+cos(2A))

三角関数の逆関数（一価関数）：sin^-1(x), cos^-1(x), tan^-1(x), cot^-1(x)

sin^-1(x) , 定義域：-1≦x≦1, 値域：-π/2≦sin^-1(x)≦π/2
cos^-1(x) , 定義域： -1≦x≦1 ,値域： 0≦cos^-1(x)≦π
tan^-1(x) , 定義域：-∞<x< ∞, 値域：-π/2≦tan^-1(x)≦π/2
cot^-1(x) , 定義域：-∞<x< ∞, 値域：-π/2≦cot^-1(x)≦π/2

sin^-1(x)=cos^-1(√(1-x²))=tan^-1(x/√(1-x²))=cot^-1((√(1-x²))/x)
cos^-1(x)=sin^-1(√(1-x²))=cot^-1(x/√(1-x²))=tan^-1((√(1-x²))/x)
tan^-1(x)=cot^-1(1/x), cot^-1(x)=tan^-1(1/x)

sin^-1(x)+cos^-1(x) = π/2 (-1≦x≦1)
sin^-1(x)+sin^-1(√(1-x²)) = π/2 (-1≦x≦1)
cos^-1(x)+cos^-1(√(1-x²)) = π/2 (-1≦x≦1)
tan^-1(x)+cot^-1(x) = π/2 (-∞<x< ∞)
tan^-1(x)+tan^-1(1/x) = π/2 (-∞<x< ∞)
cot^-1(x)+cot^-1(1/x) = π/2 (-∞<x< ∞)

sin^-1(A)+sin^-1(B)=sin^-1(A√(1-B²)+B√(1-A²))=cos^-1(√((1-B²)(1-A²))-AB)
sin^-1(A)-sin^-1(B)=sin^-1(A√(1-B²)-B√(1-A²))=cos^-1(√((1-B²)(1-A²))+AB)
sin^-1(A)+cos^-1(B)=sin^-1(AB+√((1-A²)(1-B²)))=cos^-1(B√(1-A²)-A√(1-B²))
sin^-1(A)-cos^-1(B)=sin^-1(AB-√((1-A²)(1-B²)))=cos^-1(B√(1-A²)+A√(1-B²))
cos^-1(A)+cos^-1(B)=sin^-1(A√(1-B²))+B√(1-A²))=cos^-1(AB-√((1-B²)(1-A²)))
cos^-1(A)-cos^-1(B)=sin^-1(B√(1-A²)-A√(1-B²)))=cos^-1(AB+√((1-B²)(1-A²)))
cos^-1(A)+sin^-1(B)=sin^-1(AB+√((1-A²)(1-B²)))=cos^-1(A√(1-B²))-B√(1-A²))
cos^-1(A)-sin^-1(B)=sin^-1(√((1-A²)(1-B²))-AB)=cos^-1(A√(1-B²)+B√(1-A²))
tan^-1(A)+tan^-1(B)=tan^-1((A+B)/(1-AB))
tan^-1(A)-tan^-1(B)=tan^-1((A-B)/(1+AB))

双曲線関数¹⁾：sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)

sinh(x)=(e^x-e^-x)/2
csch(x)=1/sinh(x)
cosh(x)=(e^x+e^-x)/2
sech(x)=1/cosh(x)
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=(e^2x-1)/(e^2x+1)
coth(x)=1/tanh(x)=(e^2x+1)/(e^2x-1)

cosh² (x) - sinh² (x) = 1
tanh² (x) + sech² (x) = 1
coth² (x) - csch² (x) = 1

sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)
sinh (x - y) = sinh (x) cosh (y) - cosh (x) sinh (y)
cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y) + sinh (x) sinh (y)
cosh (x - y) = cosh (x) cosh (y) - sinh (x) sinh (y)

sinh (2 x) = 2 sinh (x) cosh (x)
cosh (2 x) = cosh² (x) + sinh² (x)= 2cosh² (x) -1=1+ 2sinh² (x)

sinh² (x/2) = { cosh (x) -1}/2
cosh² (x/2) = { cosh (x) +1}/2

双曲線関数の逆関数¹⁾：sinh^-1(x), cosh^-1(x), tanh^-1(x), coth^-1(x)

sinh^-1(x) , 定義域： -∞<x<∞, 値域： -∞<sinh^-1(x)<∞
csch^-1(x) , 定義域： -∞<x<∞, x≠0, 値域： -∞<csch^-1(x)<∞, csch^-1(x)≠0
cosh^-1(x) , 定義域：1≦x<∞ , 値域： -∞<cosh^-1(x)<∞
sech^-1 (x) , 定義域：0<x≦1 , 値域： 0≦sech^-1(x)<∞
tanh^-1(x) , 定義域：-1<x<1, 値域： -∞<tanh^-1(x)<∞
coth^-1(x) , 定義域：|x|＞1 , 値域：-∞<coth^-1(x)<∞, coth^-1(x)≠0

coth^-1(x)=tanh^-1(1/x) , tanh^-1(x)=coth^-1(1/x)

sinh^-1 (x) = ln { x + √(x² + 1) } ( -∞<x<∞ )
csch^-1(x) = ln { (1 + √(1 + x²) )/|x| } (x≠0)
cosh^-1 (x) = ln { x + √(x² - 1)} (x≧1)
sech^-1 (x) =cosh^-1 (1/x) = ln { (1 +√ (1 - x²) ) /x} (0<x≦1)
tanh^-1 (x) = (1/2) ln { (1 + x)/(1 - x) } ( -1<x<1 )
coth^-1 (x) = (1/2) ln { (x + 1)/(x - 1)] } ( |x|>1 )

f(x), g(x)を初等関数とする時以下の合成によって得られる関数

af(x), af(x)±bg(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), f(g(x))

[初等関数の性質]

初等関数の導関数は初等関数になる。初等関数の原始関数は必ずしも初等関数になるとは限らない。
初等関数の逆関数は必ずしも初等関数となるとは限らない。

多項式の展開

２項定理
(a+b)^n =Σ[k=0,n] nCk a^k b^(n-k)

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)
(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4
(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5
(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6
(x+y)^7=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7
(x+y)^8=x^8+8x^7y+28x^6y^2+56x^5y^3+70x^4y^4+56x^3y^5+28x^2y^6+8xy^7+y^8
(x-y)(x+y)=x^2-y^2

因数分解

x^2-y^2=(x+y)(x-y)
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
x^4+y^4=(x^2+y^2+(√2)xy)(x^2+y^2-(√2)xy)
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc=(x-a)(x-b)(x-c)

恒等式と未定係数法

未定係数法
x/{(x+1)(x+2)(x+3)}=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+3)
x=a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)
=a(x^2+5x+6)+b(x^2+4x+3)+c(x^2+3x+2)
=(a+b+c)x^2+(5a+4b+3c)x+6a+3b+2c
各次の係数比較して
a+b+c=0,5a+4b+3c=1,6a+3b+2c=0
連立方程式を解くと
a=-1/2,b=2,c=-3/2

(x+2)/{x(x^2+4)}=a/x+(b+cx)/(x^2+4)
x+2=a(x^2+4)+(b+cx)x
a+c=0, b=1, 4a=2
a=1/2, b=1, c=-1/2

部分分数展開

x/{(x-1)(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-2)
a=x/(x-2)|(x=1)=-1, b=x/(x-1)|(x=2)=2
x/{(x-1)(x-2)}=-1/(x-1)+2/(x-2)

(x+2)/{x(x^2+4)}=1/(2x)+(1+x/2)/(x^2+4)

(微分積分、方程式の解法、線形代数、各種級数展開、行列、行列式、統計等は別の節で扱う)
　
図形

三角形ABCの余弦定理（第一、第二）^{１），２）}、正弦定理^{１），２）}

正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

余弦第一定理
a=b cosC+ c cosB
b=a cosC+ c cosA
c=a cosB+b cosA

余弦第二定理(余弦定理)
a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC

三角形の面積S：
ヘロンの公式^{１），２）}　

S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} , 2s=a+b+c

内接円の半径r

S=sr, 2s=a+b+c

外接円の半径R

S=abc/(4R)

正n角形^{１），２），３），４），５）}：１つの内角180(n-2)/n[ °]、面積^{１），２）}S=na²/{4tan(π/n)} 　

一辺の長さa	正三角形	正方形	正5角形	正6角形	正7角形	正8角形	正n角形
正n角形面積S	(√3)a²/4	a²	(5/4)a²cot(π/5)	(3√3)a²/2	(7/4)a²cot(π/7)	2a²cot(π/8)	na²cot(π/n)/4
内角[rad]	π/3	π/2	3π/5	2π/3	5π/7	3π/4	(n-2)π/n
内角の総和	π	2π	3π	4π	5π	6π	(n-2)π
外接円の半径R	(√3)a/3	a/√2	(a/2)/sin(π/5)	a	(a/2)/sin(π/7)	(a/2)/sin(π/8)	(a/2)/sin(π/n)
外接円の面積	πa²/3	πa²/2	π(a²/4)/sin²(π/5)	πa²	π(a²/4)/sin²(π/7)	πa²(2+√2)/2	π(a²/4)/sin²(π/n)
内接円の半径r	(√3)a/6	a/2	(a/2)cot(π/5)	(√3)a/2	(a/2)cot(π/7)	(a/2)cot(π/8)	(a/2)cot(π/n)
内接円の面積	πa²/12	πa²/4	π(a²/4)cot²(π/5)	3πa²/4	π(a²/4)cot²(π/7)	πa²(3+2√2)/4	(a²/4)cot²(π/n)
対角線本数	0	2	5	9	14	20	n(n-3)/2

正多面体^{1),2),3),4),5)}：

一辺の長さa	正４面体	正６面体	正８面体	正１２面体	正２０面体
頂点の数	４	８	６	２０	１２
辺の数	６	１２	１２	３０	３０
面の数	４	６	８	１２	２０
面の形状	正三角形	正方形	正三角形	正五角形	正三角形
表面積	√3a²	6a²	2√3a²	3√(25+10√5)a²	5√3a²
体積	√2a³/12	a³	√2a³/3	(15+7√5)a³/4	5(3+√5)a³/12
頂角[sr]	3cos^-1(1/3)-π	π/2	4cos^-1(-1/3)-2π	3cos^-1(-1/√5)-π	5cos^-1(-(√5)/3)-3π
外接球半径R	a√(3/8)	a(√3)/2	a/√2	(√15+√3)a/4	(√(10+2√5))a/4
内接球半径r	a/√24=R/3	a/2	a/√6	(√((25+11√5)/10))a/2	(3√3+√15)a/12

参考URL
[1] 数表^{１),２),３)}　
[2] 筆算法^１),２)　

a=e ^b ⇔ b=ln(a) y=e^x ⇔ x=ln(y)	y=e^x と y=ln(x) は逆関数の関係
a^b=e^bln(a) (a>0)
y=x^x=e^xln(x) (x>0) =(-1)ⁿ/nⁿ (x=-n,n=自然数) =1 (x=0) =未定義(その他のx)	x^x=nⁿ (x=n,n=自然数) x^x=(-1)ⁿ/nⁿ (x=-n,n=自然数) y=x^x の極小値=1/e^1/e (x=1/eの時)