関数の極大値
| y=f(x)が極大値をとる条件 x=aで極大値f(a)をとる為の条件 f'(a)=0, f"(a)＜0 |
| f(x,y)=0のy=g(x)が極大値をとる条件 x=aで極大値b=g(a)をとる為の条件 f(a,b)=0,fy(a,b)≠0,fx(a,b)=0 fxx(a,b)/fy(a,b)＞0 |
| y=f(x)が極小値をとる条件 x=aで極小値f(a)をとる為の条件 f'(a)=0, f"(a)＞0 |
| f(x,y)=0のy=g(x)が極小値をとる条件 x=aで極小値b=g(a)をとる為の条件 f(a,b)=0,fy(a,b)≠0,fx(a,b)=0 fxx(a,b)/fy(a,b)＜0 |
参考URL
[1]
[2]陰 関数(implicit functions)
[3]
| [演習1] 関数
f(x)=x*ln(x)-ax^2-x+1 について, f(x) が極値をもつような a の取り得る値の範囲を求めよ。  |
[解答] f(x)=x*ln(x)-ax^2 -x+1 f'(x)=ln(x)-2ax f''(x)=(1/x)-2a f''(x)=0の解 x=1/(2a) a<0とすると x>0でf''(x)>0 f'(x):単調増加,ln(x)=2axを満たす0<x=t<1でf'(t)=0 この時x=tで極小値f(t)を持つ。t={1/(-2a)}LambertW(-2a) a=0でf'(x)=log(x) x=1でf'(1)=0,極小値f(1)=0 a>0とすると x>0でf''(x)=0となるxはx=1/(2a)>0 f'(x)は増加−極大値−減少関数, 極大値f'(1/2a)=-log(2a)-1 a=1/(2e)=0.1839397206の時、極大値f'(1/(2a))=f'(e)=0,f(e)=0 0<a≠1/(2e)でf'(x)<0 x=1/(2a)は変曲点であるが極値ではない。 f(x),(x>0)は単調減少関数。 a>1/(2e)の時、極大値f'(1/(2a))<0 x>0でf'(x)<0,f(x)は減少関数。極値は存在しない。 0<a<1/(2e)の時、極大値f'(1/(2a))>0 x>0でf'(x)は負−0−正−0−負と変化するため ln(x)-2ax=0の2つの解をα,β(α<β)とする。 f(x)は減少−極小値f(α)−増加−極大値f(β)−減少と変化する。 a |1/2e=0.1839397206 極小x/極大x|e=2,718281828 原点(0,0)を通るlog(x)の接線 y=(1/t)(x-t)+ln(t)=(1/t)x+ln(t)-1 ln(t)=-1, t=1/e y=et f(x)がx>0で極値を持つ為の条件は f'(x)=0が2根を持つことであるから 0.1355<a=<1/(2e)=0.1839397206
a<0.1355 |
| [演習2] 関数 f(x)=x/(x2+1)
の極値とその時のxを求めよ。 |
[解答] f'(x)=-(x-1)(x+1)/(x2+1)2 f''(x)=2x(x2-3)/(x2+1)3 f'(x)=0の時のxを求めると x=-1,1 極値を持つときのxの候補は x=-1,1 f''(-1)=1/2>0より x=-1のとき極小値f(-1)=-1/2をとる。 f''(1)=-1/2<0より x=1のとき極大値f(1)=1/2をとる。  |