| 立体名 |
体積 |
| 半径rの球 |
体積 V = (4π/3) r3 表面積 S = 4πr2 |
| 半径rの球を x = r/2 で切断した x =
r/2〜r までの立体 |
V = (5/24) r3 |
| 底面の半径 r, 高さ h の円錐 |
体積V=πhr2/3 表面積S=πr { r+√(r2+h2) } |
| 底面の半径ｒ，高さ h の円柱 |
体積 V = πhr2 表面積 S = 2πr (2r+h) |
| 各軸の半径がa,b,cの楕円体： (x/a)2 +(y/b)2 +(z/c)2 ≦1, a≧b＝c＞0 |
V = (4π/3) ab2 |
| 断面の半径r,ドーナツの中心から断面の中心までの半径a のドーナツ状立体 |
V = 2ar2π2 |
| X軸の周りの回転体体積V, y = f (x) |
V =π∫[x1,x2] y2 dx |
| 半径rの球を x = a, x = b (-r≦a≦b≦r) の平面で切断したときの 切断球の体積 |
V1 =π∫[-r, a] (r2-x2) dx V2 =π∫[a, b] (r2-x2) dx V3 =π∫[b, r] (r2-x2) dx |
| 半径rの球を x = r/√2 (0≦r)
の平面で切断したときの２つの 切断球の体積V1, V2 (V1<V2)を求めよ。 |
V1=π∫[r/√2, r] (r2-x2)
dx =π[r2x - (x3/3)] |(x=r/√2→r) =πr3[1- (1/3)-(1/√2)+(1/6√2)] = ((8-5√2)/12)πr3 V2=(4/3)πr3-V1 = ((8+5√2)/12)πr3 |
| 半径rの球をx = r/2
(0≦r)の平面で切断したときの２つの 切断球の体積V1, V2 (V1<V2)を求めよ。 |
V1=π∫[r/2, r] (r2-x2)
dx = π[r2x - (x3/3)] |(x=r/2→r) = πr3[1- (1/3)-(1/2)+(1/24)] = (5/24)πr3 V2=(4/3)πr3-V1 = (27/24)πr3 |
| 半径rの球を x =±r/2
(0≦r)の平面の間の切断球体の 体積Vを求めよ。 |
V=π∫[-r/2, r/2] (r2-x2)
dx = 2π[r2x - (x3/3)] |(x=0→r/2) = 2πr3[(1/2)-(1/24)] = (11/12)πr3 |
| y=xとy=x2で囲まれた領域をx軸の周りに回転した立
体の体積を求めよ。 |
V=π∫[0,1](x2-x4)dx =π[x3/3-x5/5]|[0,1] =2π/15 |
| 楕円体 (x/a)2+(y/b)2+(z/b)2=1
の内部の体積V (a>0,b>0) |
V=π∫[-a,a] b2{1-(x/a)2}
dx = (4/3)πab2 |
| 楕円体(x/a)2+(y/b)2+(z/b)2=1
(0<a,b) の x = a/2 の 平面で切断したときの２つの 切断球の体積V1, V2 (V1<V2)を求めよ。 |
V1 =π∫[a/2, a] b2
{1-(x/a)2} dx =π{(b/a)2} [a2x - (x3/3)]|(x=a/2→a) =πab2[1- (1/3)-(1/2)+(1/24)] =(5/24)πab2 V2=(4/3)πab2-V1 =(27/24)πab2 |
| 楕円体 (x/a)2+(y/b)2+(z/b)2
= 1 (0<a,b) の x =±a/2の 平面の間の切断楕体の体積Vを求めよ。 |
V=2π∫[0, a/2] b2
{1-(x/a)2} dx =2π{(b/a)2} [a2x - (x3/3)] |(x=0→a/2) =(3/4)πab2 |
| 球面円錐体 球半径r,球面x^2+y^2+z^2=r^2,0<a<r  |
V1:円錐部分体積 (0≦x≦a) V1=(1/3)πa(r^2-a^2) V2:欠球部分体積(0<a≦x≦r) V2=π∫(r^2-x^2)dx =(1/3)π(2r+a)(r-a)^2 球面円錐体体積V V=V1+V2=2π(r-a)r^2 Vo:球の体積 Vo=(4/3)πr^3 Vo-V=2π(r+a)r^2 |
| 紡錘体正弦波 sin (x), x=0〜πの部分とX軸で囲まれる図形 をX軸の周りに回転してできる立体 |
V=(1/2)π2 |
| 放物線 y = x (x+3) と x
軸で囲まれた図形をx軸の周りに回転した 回転体の体積V  |
x軸との交点(0,0), (-3,0) V=π∫[-3,0] x2(x+3)2 dx =(81/10)π |
| y=1-√x
とx軸とy軸で囲まれた図形をx軸の周りに回転した 回転体の体積V  |
V=π∫[0,1] (1-√x)2
dx =π/6 |
| y = tan x と x軸と x =
π/4 で囲まれた図形をx軸の周りに 回転した回転体の体積V  |
V=π∫[0,1] (tan x)2
dx =π{ 1-(π/4) } |
| Y軸の周りの回転体体積V, x=g(y) | V=π∫[y1,y2] x2 dy |
| 回転放物面体：y≧x2とy≦1と
Y軸で囲まれる図形をy軸の 周りに回転してできる回転体 |
V=π/2 |
| y≧x2とy≦xで囲まれる図形を
y軸の 周りに回転してできる回転体体積V |
V=π∫[0,1] (y-y2)dy]=π/6 |
| 相貫立体体積 直交２円柱交叉共通部の相貫立体の体積（円柱の直径D） |
(2/3) D3 |
| 相貫立体体積 直 交３円柱交叉共通部の相貫立体の体積（円柱の直径D） |
(2-√2) D3 |
| z≦1-x-y , x≧0 , y≧0, z≧0の作る領域 | 1/6 |
| √z≦1 -√x -√y ，x≧0 , y≧0,
z≧0の作る領域 |
1/90 |
| 球に内接する正多面体の体積 |
|
| 半径aの球に内接する円柱、直円錐の体積最大時の体積 |
直円柱： V=(4√3)πa3/ 9(高さ2a/√3, 底面半径a√(2/3) ) S=2(1+2√2)π(a^2)/3 (円+長方形) 直円錐： V=(32/81)πa3 (高さ4a/3, 底面半径a√(2/3)) S=2(3+√33)π(a2)/9 (円+扇形) |
