x軸の周りの回転
曲線y=f(x)をxの範囲[a,b]でx軸の周りに回転させた時にできる立体の表面積S
半径yの微小な厚さdxの円盤の表面積=（円周2πy）×(幅「dx」)と
曲面の微小な曲線の長さ＝√(1+(dy/dx)2の積が，回転立体の表面積になるから
[a,b]の範囲で積分すれば回転立体の表面積Sの式が得られる。
S=2π∫[a,b] y√{1+(y')^2}dx
y軸jの周りの回転
S=2π∫[a,b] x√{1+(1/y')^2}dy
直線y=xの周りの回転
参考URL
[1]回転体の表面積
[2]
[例題1] y=sin(x), x=0〜πをx軸の周りに回転してできる立体の表面積を求めなさい。 [解答1] y'=cos(x) S=  [例題2] z=1-x^2-y^2 (ｚ≦1) の曲面の表面積Sを求めなさい。 [解答2] y=0とおいたときの放物線z=1-x^2 (z≦1)をz軸の周りに回転した立体の表面積と同じであるから 積分範囲：[0,1]で以下の積分をする。 S=2π∫x√{1+(dx/dz)^2}dz=2π∫√(1-z)√[1+1/{4(1-z)}]dz=2π∫√｛(5/4)-z｝dz =  |