双曲線関数(hyperbolic function)

双曲線正弦関数 (hyperbolic sine function) sinh(x)  (奇関数) 双曲線余割関数 (hyperbolic cosecant function) cosech(x),csch(h)=1/sinh(x)  (x≠0,奇関数)	sinh(x)=(ex-e-x)/2 cosech(x),csch(x)=2/(ex-e-x) (x=0：漸近線)
双曲線余弦関数 (hyperbolic cosine function) cosh(x) (≧1,偶関数) 双曲線正割関数 (hyperbolic secant function) sech(x)=1/cosh(x) (0<sech(x)≦1,偶関数,  漸近線 y=0)	cosh(x)=(ex+e-x)/2 (≧1) sech(x)=2/(ex+e-x) (≦1)
双曲線正接関数 (hyperbolic tangent function) tanh(x)  (奇関数)  (|tanh(x)|<1,漸近線y=±1) 双曲線余接関数 (hyperbolic cotangent function) coth(x)=1/tanh(x)　(奇関数)  (|coth(x)|>1,漸近線y=±1)	tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)=(e2x-1)/(e2x+1)   coth(x)=cosh(x)/sinh(x)=(ex+e-x)/(ex-e-x)=(e2x+1)/(e2x-1)

双曲線関数の公式¹⁾

cosh2x-sinh2x=1 1-tanh2x=sech2x=1/cosh2x coth2x-1=csech2x=1/sinh2x	半角の公式 sinh2(x/2)=(coshx -1)/2 cosh2(x/2)=(coshx +1)/2 tanh2(x/2)=(coshx -1)/(coshx +1)
加法定理 sinh(x±y)=sinhx coshy±coshx sinhy cosh(x±y)=coshx coshy±sinhx sinhy tanh(x±y)=(tanhx±tanhy)/(1±tanhx tanhy)	積和公式 sinhx coshy={sinh(x+y)+sinh(x-y)}/2 coshx sinhy={sinh(x+y)+sinh(x-y)}/2
和積公式 sinhA+sinhB=2sinh{(A+B)/2)cosh{(A-B)/2} sinhA-sinhB=2cosh{(A+B)/2)sinh{(A-B)/2}	coshA+coshB=2cosh{(A+B)/2)cosh{(A-B)/2} coshA-coshB=2sinh{(A+B)/2)sinh{(A-B)/2}
2倍角の公式 sinh(2x)=2sinhx coshx cosh(2x)=2cosh2x-1=1+2sinh2x=sinh2x +cosh2x tanh(2x)=2tanhx/(1+tanh2x)	3倍角の公式 sinh(3x)=3sinhx + 4sinh3x cosh(3x)=4cosh3x-3coshx tanh(3x)=(3tanhx+tanh3x)/(1+3tanh2x)

双曲線関数の微積分公式²⁾

d/dx sinhx = cosh x d/dx coshx = sinh x	∫coshx dx=sinhx +C ∫sinhx dx=coshx +C
d/dx csch x =-cothx cschx d/dx sech x =-tanhx sechx
d/dx tanhx = 1-tanh2x = sech2x d/dx cothx = 1-coth2x =-csch2x	∫dx/cosh2x=tanhx +C ∫dx/sinh2x=-cothx +C

複素双曲線関数と三角関数

sinh(ix)=i sin(x) cosh(ix)=cos(x)	sin(ix)=i sinh(x) cos(ix)=cosh(x)
sinh(x+jy)=sinh(x)cos(y)+i cosh(x)sin(y) cosh(x+jy)=cosh(x)cos(y)+i sinh(x)sin(y) tanh(x+iy)=(tanh(x)+i tan(y))/(1+itanh(x)tan(y))	sin(x+iy)=sinh(x)cos(y)+i cosh(x)sin(y) cos(x+iy)=cos(x)cosh(y)-i sin(x)sinh(y) tan(x+iy)=(tan(x)+i tanh(y))/(1-itan(x)tanh(y))

逆双曲線関数(inverse hyperbolic function)

sinh-1(x)=ln(x+√(1+x2)) 　（奇関数） cosech-1(x) or csch-1(h)=ln((1/x)+√(1+x2)/|x|) 　（奇関数）
cosh-1(x)=log(x±√(x2-1)) (x>1,x軸対称) sech-1(x) or 1/cosh-1(x)=ln((1±√(1-x2))/x) (|x|<1)
tanh-1(x)=(1/2)ln((1+x)/(1-x)) (|x|<1,奇関数) coth-1(x)=(1/2)ln((x+1)/(x-1)) (|x|>1,奇関数)

Update:2011.09.17

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