| 焦点Fと準線Lから等距離にある点Pの軌跡 |
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| 準線上の点Hと焦点Fを結ぶ線分の垂直二等分線とHにおけ
る垂線との交点Pの軌跡 |
垂直二等分線は放物線の接線になる。 |
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[2]
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[4]
放物線の接円
| 放物線y=x^2の接円 |
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| 放物線y=x2と直線y=aに原点
(0,0)と点 (0,a)で内接する円 (0＜a≦1) |
x2+{y-(a/2)}2=(a/2)2 |
| 放物線y=x2と直線y=aに原点
(0,0)以外の放物 線上の２点と点(0,a)で内接する円 (a>1) |
内接円：x2-{y-(1/2)-a+√a}2=
{(1/2)-√a}2 傍接円：x2-{y-(1/2)-a-√a}2={(1/2)+√a}2  |
| 放物線 y=(x+1)2+a-1 …(1) に原点(0,0)から引いた２本の直交接線の方程式とaを求めよ。 |
2つの接線の接点のx座標をxo,x1(xo<x1 …(2))とすると2本の接線は y+yo=2(xo+1)(x+1)+2(a-1) ...(3) y+y1=2(x1+1)(x+1)+2(a-1) ...(4) 接線が原点を通る条件 yo=2(xo+1)+2(a-1) ...(5) y1=2(x1+1)+2(a-1) ...(6) 接点が放物線上にある条件 yo=(xo+1)^2+a-1 ...(7) y1=(x1+1)^2+a-1 ...(8) 接線の直交条件 4(xo+1)(x1+1)=-1 ...(9) (2)の条件で、連立方程式(5),(6),(7),(8),(9)を解くと a=5/4, (xo,yo)=(-√5/2, (5-2√5)/2), (x1,y1)=(√5/2, (5+2√5)/2) ２本の接線の方程式は(3),(4)から y=(2-√5)x y=(2+√5)x  |
放物線の法線
| [演習] 放物線 y=x2+1 に点A(6,4)から引いた 法線の方程式を求めよ。 また。法線と放物線と 法線の交点Pの座標と AP間の距離dと交点Pを 接点とする放物線の 接線の方程式を求めよ。 |
[解答] y=x2+1 …(1) y'=2x より 接点P(x,y)は y=x2+1 -1/(2x)=(y-4)/(x-6) …(2) これを満たす実数解を求めると 接点P(x,y)=(2,5) …(3) (2),(3)から法線の方程式は 媒介変数方式では (x,y)=(6-4t,4+t) tを消去すると y=(6-x)/4 +4 ∴y=-(x/4)+(11/2) またAPの距離 d=√{(6-2)^2+(4-5)^2}=√17 接線の方程式は y=4(x-2)+5 ∴y=4x-3  |