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平面の式

著者：Mathcot

初版：:2007.6.5

LastUpdate:2010.02.14

三次元空間に平行でない直線LとMがあるときMを含む平面でLに平行な平面	L: (x,y,z)=(xh,yh,zh)+t(a,b,c), M:(x,y,z)=(xk,yk,zk)+s(p,q,r) t=(x-xh)/a=(y-yh)/b=(z-zh)/c, s=(x-xk)/p=(y-yk)/q=(z-zk)/r Mを含む平面：(x,y,z)=(xk,yk,zk)+s(p,q,r)+t(p',q',r') =(xk,yk,zk)+h(a,b,c) t(p',q',r')=h(a,b,c)-s(p,q,r)=(ah-ps,bh-qs,ch-rs)
L:(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1),M=(-2,1,3)+s(1,-2,0)	Mを含む平面:(x,y,z)=(-2,1,3)+t(p,q,r)+ s(1,-2,0) t(p,q,r)=h(1,1,1)-s(1,-2,0) 途中!
1点を通りベクトルに垂直な平面	点(a,b,c), ベクトル(p,q,r)のとき平面：p(x-a)+q(y-b)+r(z-c)=0
点(1,1,1)を通り, ベクトル(1, 2, 3)に垂直な平面	(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0 x+2y+3z=6
２点から等距離の点の作る平面 2点(a,b,c)と(a',b',c') p(x-xm)+q(y-ym)+r(z-zm)=0	中点M ((a+a')/2,(b+b')/2,(c+c')/2), 平面の法線の方向ベクトル:(a-a',b-b',c-c') (a-a')/p=(b-b')/q=(c-c')/r=k (a-a'){x-(a+a')/2}+(b-b'){y-(b+b')/2}+(c-c'){z-(c+c')}=0
2点(1,2,3)と(-1,-4,-1)から等距離にある点の作る平面	2x+6(y+1)+4(z-1)=0 → x+3(y+1)+2(z-1)=0 or x+3y+2z=-1 面との交点M (0,-1,1), 点と面との距離=(1+6+6+1)/√(1+9+4)=√14
平面外の一点を通り、ある平面に平行な平面	点P(p, q,r),平面A：ax+by+cz+d=0のとき平行な平面：a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=0
平面：x/3 +y/2 +z/4=1,平面外の点(2,2,2)	(x-2)/3 +(y-2)/2 +(z-2)/4=0　→　4x+6y+3z=26 平面間の距離L=\|8+12+6-12\|/√(16+36)=7/√13
平面A上の直線を含む平面Aに垂直な平面

平面外の点(xo,yo,zo)と平面の距離垂線の足(xh,yh,zh)	平面: ax+by+cz+d=0のとき距離D=\|axo+byo+czo+d\|/√(a^2+b^2+c^2)\| (xh,yh,zh)=(xo+ato,yo+bto,zo+cto), to=-(axo+byo+czo+d)/(a^2+b^2+c^2)
点（1,1,1)と平面：x+2y+3z-8=0の距離D 垂線の足(xh,yh,zh)	D=\|1+2+3-8\|/√(1+4+9)=2/√14 to=-(1+2+3-8)/(1+4+9)=1/7, (xh,yh,zh)=(8/7,9/7,10/7)
平面z= ax+byとx軸,y軸,z軸となす角α,β,γ	tanα=\|a\|/√(a^2+b^2+1), tanβ=\|b\|/√(a^2+b^2+1),tanγ=1/√(a^2+b^2+1)
平面：z=2x+2yがx軸，y軸，z軸となすそれぞれの角α,β,γ のtanα,tanβ,tanγを求めなさい。	点(1,0,0)から平面に下した垂線の長さ：hx=2/3,垂線の足 Hx=(5/9,-4/9,2/9) 点(0,1,0)から平面に下した垂線の長さ：hy=2/3,垂線の足Hy=(-4/9,5/9,2/9) 点(0,0,1)から平面に下した垂線の長さ：hz=1/3,垂線のHz=(-2/9,-2/9,10/9) tanα=2/3, tanβ=2/3, tanγ=1/3
3 点を通る平面
同一直線上にない３点 A:(x1,y1,z1)、B:(x2,y2,z2)、C:(x3,y3,z3) を通る平面の式 {(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)}(x-x1)+ {(z2-z1)(x3-x1)-(z3-z1)(x2-x1)}(y-y1)+ {(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)}(z-z1)＝0 ●〔Mapale10〕 >(subs({x1 = 2, y1 = 0, z1 = 0, x2 = 0, y2 = 3, z2 = 0, x3 = 0, y3 = 0, z3 = 4}, ( (y2 - y1) (z3 - z1) - (y3 - y1) (z2 - z1)) (x - x1) + ((z2 - z1) (x3 - x1) - (z3 - z1) (x2 - x1)) (y - y1) + ((x2 - x1) (y3 - y1) - (x3 - x1) (y2 - y1)) (z - z1) = 0) 12 x - 24 + 8 y + 6 z = 0 6x+4y+3z=12 z=(12-6x-4y)/3 >plot3d((12-6x-4y)/3, x = 0 .. 3, y = 0 .. 4, axes = normal, view = 0 .. 6, tickmarks = [3, 5, 4], transparency = .5, color = blue, labels = ['x', 'y', 'z'], grid = [2, 2])	3点(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4) 6x+4y+3z=12 (x/2)+(y/3)+(z/4)=1 z=(2/3)(6-3x-2y)
平面： z=ax+byとxy平面のなす角θ	交線： z=ax+by=0, (x,y,z)=t(b,-a,0) 交線の法線

参考URL
[1]平面の方程式
[2]
[3]
[4]

接平面
f(x,y, z)=f(a,b,c)=0の接平面	曲面上の点(a,b,c)のとき接平面：fx(a,b,c)(x-a)+fy(a,b,c)(y-b)+fz(a,b,c)(z-c)=0
f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6=0の点 (1,1,1)における接平面 fx=2x, fy=4y, fz=6z	2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0 ∴x+2y+3z=6
z=f(x, y)の(a,b)での接平面	z-f(a,b)=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)
x^2+2y^2+3z^2=6の点(1,1,1)における接平面 z=√{2-(1/3)x^2 -(2/3)y^2} fx=-(x/3)/{2-(1/3)x^2 -(2/3)y^2} fy=-(2y/3)/{2-(1/3)x^2 -(2/3)y^2}	dz=fx(a,b)dx+fy(a,b)dy dz=-(1/3)dx-(2/3)dy z-1=-(1/3)(x-1)-(2/3)(y-1) 接平面方程式：(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0

参考URL
[1]接平面の方程式と図
[2]接平面2
[3]
[4]

参考URL：
[1]3点を通る平面http://yosshy.sansu.org/3tenplane.htm

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Update:2008.01.20

Update:2010.02.14