S=∫[a,b] ydx
S=∫D dS =∫[a,b] {∫[f1(x),f2(x)] dy} dx or ∫[c,d] {∫[g1(y),g2(y)] dx} dy
S=∫D dS =∫[a,b] {∫[f1(x),f2(x)] dy} dx or ∫[c,d] {∫[g1(y),g2(y)] dx} dy
XY直交座標系面積積分を極座標系面積積分への変換
ヤコビアンの計算
x=r cosθ, y=r sinθ
∂(x,y)/∂(r,θ)=∂x/∂r・∂y/∂θ-∂x/∂θ・∂y/∂r
=cosθ・r cosθ-(-r sinθ)sinθ=r
dxdy=r drdθ
∫f(x,y) dS=∬D f(x,y) dxdy =∬D' g(r,θ)ｒｄｒｄθ
x=r cosθ, y=r sinθ
∂(x,y)/∂(r,θ)=∂x/∂r・∂y/∂θ-∂x/∂θ・∂y/∂r
=cosθ・r cosθ-(-r sinθ)sinθ=r
dxdy=r drdθ
∫f(x,y) dS=∬D f(x,y) dxdy =∬D' g(r,θ)ｒｄｒｄθ
極座標による面積積分
S=(1/2)∫D r2 dθ
曲座標に変換して面積を求める場合| [演習1](x+y)4=ax2y (a>0)が第一象限に作る 閉曲線領域の面積を求めよ。 |
[解答] x=r cosθ,y=r sinθ(0≦θ≦π/2)と置き曲線の式に代入すると r4(cosθ+sinθ)4=ar3 cos2θsinθ r=a cos2θsinθ/(cosθ+sinθ)4 r=a cos2θsinθ/{4 sin4(θ+π/4)} S=(1/2)∫[0,π/2] r2 dθ =(a2/32)∫[0,π/2]{cos2θsinθ/sin4(θ+π/4)}2 dθ =(a2/32)∫[0,π/2] {cos4θsin2θ/sin8(θ+π/4)} dθ =a2/210 |
| [演習2] (x+y)4=ax2y (a=16)のグラフの第一象限の範囲について描け。そして第一象限でグラフでxおよびyが最大となる点の座標を求めよ。 |
[解答] yの最大値を求める。 f(x,y)=(x+y)4-ax2y と置く。 fx=4(x+y)3-2axy,fy=4(x+y)3-2ax2 {f=0,fx=0}を解いて (x,y)=(a/16,a/16)=(1,1) このときymax=a/16=1 xの最大値を求める。 {f=0,fy=0}を解いて(x,y)=(27a/256,9a/256)=(27/16,9/16) この時xmax=27/16  |
| [演習3] 次の直交座標表示のグラフの式を極座標表示の式r=f(θ)に変換しなさい。またこのグラフの第一象限に存在する部分のθの範囲を求めよ。 (x+y)4=ax2y (a＞0) |
[解答] x=r cosθ, y=r sinθを代入して r4(cosθ+sinθ)4=ar3cos2θsinθ r=0 または r(cosθ+sinθ)4=a cos2θsinθ r=0,r=a cos2θsinθ/ (cosθ+sinθ)4 r=0は r=a cos2θsinθ/ (cosθ+sinθ)4 のθ=0の場合に含まれるので求める極座標表示の式は r=a cos2θsinθ/ (cosθ+sinθ)4 （a>0) 第一象限に存在するθの範囲は 0≦θ≦π/2 |
曲座標曲線で作られる閉曲線面積を求める場合
| [演習1] r=a(1+cosθ) (0≦θ≦2π, a≧0) の作る閉曲線領域の面積を求めよ。 |
[解答] S=a2∫[0,π] (1+cosθ)2 dθ = (3/2) a2 |