| フーリエ級数展開は、周期関数f(t)の高調波による
基本周期Toの区間での無限級数和展開である。 言い換えればフーリエ級数係数がそれぞれの高調波に対応する輝線スペクトル成分になっており、 フーリエ級数展開係数{c0,c1,c2,c3,...} を使って、基本周期To=2π/ωoの周期関数f(t)は f(t)=(c0/2)+∑[n=1,∞] cn cos(nω0t-θn) とフーリエ級数展開できる。これをフーリエ変換すると F(ω)=π[c0δ(ω)+ ∑[n=1,∞] {cnejθnδ(ω-nωo)+Cn* e-jθnδ(ω+nωo)}] という輝線スペクトル列が得られる。 |
| f(t)が周期関数でない場合の場合、フーリエ変換は F(ω)=F{f(t)}=∫[-∞,∞] f(t)exp(-jωt)dt で定義され、フーリエ逆変換は f(t)=F-1{F(ω)}={1/(2π)}∫[-∞,∞] F(ω)exp(iωt)dω で定義される。 |
| f(t) |
F(ω)=F{f(t)} |
| {u(t+a)-u(t-a)}/(2a) ,
a>0 or f(x)=1/2a(|x|<a) = 0 (|x|>a) |
F(ω)=∫[-∞,+∞] f(x)
exp(ixω)dω=sin(aω)/(aω) [Maple10](1) ＞assume(a>0): inttrans[fourier]((1/(2a))*(Heaviside(x+a)-Heaviside(x-a)),x,w); sin(a w)/(a w) (1) |
| [Maple10](2) ＞with(inttrans):assume(a>0): fourier((1/(2a))*(Heaviside(x+a)-Heaviside(x-a)),x,w); sin(a w)/(a w) (2) |
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| cos(wot) |
[Maple10] ＞inttrans[fourier](cos(wot),t,w); (1/2) fourier(exp(i wot),t,w)+(1/2)fourier(exp(-i wot),t,w); (3) |
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∞ f(t)=(c0/2)+∑cn cos(nωot-θn) n=1 |
∞ π[c0δ(w)+∑cn exp(iθn)δ(w+nω0)+cn*exp(-iθn)δ(w-nω0) n=1 |
| F(ω) |
f(t)=F-1{F(ω)} |
| u(ω) |
2πδ(w) [Maple10] ＞inttrans[fourier](1,t,w); 2π Dirac(w) |
| sin(aω)/(aω) | (1/(2a)}{u(t+a)-u(t-a)} {Maple10] ＞intrans[invfourier](sin(a*w)/(a*w),w,t); (1/2)(Heaviside(t+a)-Heaviside(t-a))/a (3) |
| [解答]フーリエ逆変換の公式から F-1{F(ω)}=1/2π｛∫[-∞,+∞][ F(ω)*exp(iωx) ]dω｝ sin(aω)=exp(iaω)-exp(iaω)}/(2i) より ={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω =g1(x)+g2(x)=f(x)と置くと g1(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω]dω ={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/(iω)]dω g1'(x)={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)]dω ={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(iaω)}{exp(ixω)]dω ={1/(2a)}F-1{1}|x=x+a ={1/(2a)}δ(x+a), δ(x)はディラックのデルタ関数(参考URL)。 g1(x)=∫{1/(2a)}δ(x+a)dx={1/(2a)}u(x+a)+C1 同様に g2(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(-a+x)ω)/ω]dω ={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(i(-a+x)ω)/(iω)}dω g2'(x)={1/(2a)}*{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(-ia)exp(ixω)}dω ={1/(2a)}F-1(1)|x=x-a={1/(2a)}δ(x-a)) g2(x)={1/(2a)}u(x-a)+C2 f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)}+C (C=C1+C2) f(-∞)=0とすれば、 C=0 ∴f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)},u(x)はユニットステップ関数。 |
| f(t)=(1/2π)∫[-∞.∞]
F(ω)exp(jωt)dω 時間領域、フーリエ逆変換 |
F(ω)=∫f(t)exp(-jωt)dt 各周波数領域、フーリエ変換 |
| af(t)+bg(t) f(t-a) exp(jat)f(t) f(at) , a>0 F(t) f(n)(t) tnf(t) (f*g)(t) f(t)g(t) f(t)=u(t+a)-u(t-a),(a>0) δ(t),Dirac(t) 1 u(t),Heaviside(t) sin(t)/t sin(at),(a>0) cos(at) sin(t)u(t) cos(t)u(t) (sin(a*t)/(a*t))2 , (a>0) exp(-at2), (a>0) exp(-a|t|) , (a>0) 1/√|t| exp(jat) tn exp(-at)u(t),(a>0) exp(-at)cos(wot)u(t), (a>0) |
aF(ω)+bG(ω) exp(-j aω)F(ω) G(ω-a) (1/a)F(ω/a) f(-ω) (jω)nF(ω) (j)nF(n)(ω) F(ω)G(ω) (F*G)(ω) 2sin(aω)/ω 1 2πδ(ω) πδ(ω)-j/ω πu(ω+1)-πu(ω-1) jπ{δ(ω+a)-δ(ω-a)} π{δ(ω+a)+δ(ω-a)} jπ{δ(ω+1)-δ(ω-1)}/2+1/(1-ω2) π{δ(ω+1)-δ(ω-1)}/2+jω/(1-ω2) {1/(2a2)}{(ω+2)u(ω+2)-2ωu(t)+(ω-2)u(ω-2)} [exp{-ω2/(4a)}]√(π/a) 2a/(ω2+a2) 1/√|ω| 2πδ(ω-a) (j)n2πδ(n)(ω) 1/(a+jω) (1/2)[1/{a+j(w-wo)}+1/{a+j(w+wo)}] |
