index.html 円錐曲線離心率

円錐曲線(陰関数)
　
ax^2 +2bxy +cy^2 +2dx +2ey +f = 0
曲線上の点(x0,y0), 曲線外の点(m,n)とおくと
接線： y-y0 = -{(2ax0+by0+d)/(bx0 +2cy0+e)}(x -x0)
　　　　y-n=(x-m)
法線： y-y0 = {(bx0 +2cy0+e)/(2ax0+by0+d)}(x -x0)

円錐曲線の種類	標準形	接線：曲線上の点(x0,y0)
円	x^2+y^2=r^2 (r>0), r=k　(k＞0, 0≦θ＜2π)	xx0+yy0=r^2 x0(x-x0)+y0(y-y0)=0
	(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 (r>0)	(x0-p)(x-p)+(y0-q)(y-q)=r^2 (x0-p)(x-x0)+(y0-q)(y-y0)=0
楕円	px^2+qy^2=1 (p>0,q>0,p≠q) x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>0, b>0, a≠b) (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1	px0x+qy0y=1 xx0/a^2+yy0/b^2=1
放物線	2px-qy^2=1 (p>0,q>0)	p(x+x0)-qyy0=1
双曲線	px^2-qy^2=1 (p>0,q>0) -px^2+qy^2=1 (p>0,q>0) xy=k	px0x-qy0y=1 px0x-qy0y=-1 yx0+y0x=2k
二直線	px^2-qy^2=0 (p>0,q>0)

　
一般の接線・法線の方程式導出法

ax^2 +2bxy +cy^2 +2dx +2ey +f = 0
xで微分
　2ax+by+bxy'+2cyy'+d+ey'=0
　(bx+2cy+e)y'=-(2ax+by+d)
　y'=-(2ax+by+d)/(bx+2cy+e)

接線の方程式
　y-y0=-{(2ax0+by0+d)/(bx0+2cy0+e)}(x-x0)
法線の方程式
　y-y0={(bx0+2cy0+e)/(2ax0+by0+d)}(x-x0)

接線導出法

円(1)：x^2+y^2=r^2 (r>0) x^2+y^2+f=0 (f<0) a=c=1,b=0, d=e=0, f=-r^2, p=q=0 接線：y-y0=-(x0/y0)(x-x0) x0(x-x0)+y0(y-y0)=0 or x0x+y0y=r^2 法線：y-y0=(y0/x0)(x-x0) x0(y-y0)=y0(x-x0)	円(2)：(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 (r>0) x^2+y^2-2px-2qy+(p^2+q^2-r^2)=0 x^2+y^2+2dx+2ey+f=0 a=c=1, b=0, d=-p, e=-q, f=p^2+q^2-r^2 接線：y-y0=-{(x0-p)/(y0-q)}(x-x0) (x0-p)(x-x0)+(y0-q)(y-y0)=0 法線：y-y0={(y0-q)/(x0-p)}(x-x0) (x0-p)(y-y0)=(y0-q)(x-x0)
楕円(1)：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) x^2+y^2+f=0 (f<0) a=c=1,b=0, d=e=0, f=-r^2, p=q=0 接線：y-y0=-(x0/y0)(x-x0) x0(x-x0)+y0(y-y0)=0 or x0x/a^2+y0y/b^2=1 法線：y-y0=(y0/x0)(x-x0) x0(y-y0)=y0(x-x0)	放物線(1) y^2 =4ax (2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=-(dx0+ey0+2f) でa=0,b=0,c=1,d=-4a,e=0,f=0とおけば、 -4ax+2cy0y=4ax0 y0y=2a(x+x0)
楕円(2)：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (b>a>0)	放物線(2)
直交双曲線：xy=k (k>0)	双曲線(1) x^2/a^2-y^2/b^2=1 →　x0x/a^2-y0y/b^2=1
直交双曲線：xy=k (k<0)	双曲線(2)

　
離心率

二次曲線（楕円、円、放物線、双曲線）はすべて「ある点Fからの距離と、ある直線dからの距離の比が一定」という性質を持つ。この比が離心率である。

(離心率e)＝（点Fからの距離）/(直線dからの距離d)
円の場合は直線dが存在しないので離心率は0とする。

直線l (準線)と直線上にない点F（焦点）を取る。点Pから直線lへ下ろした垂線の足をHとして、PF:PH=e:1 (e>0)となる点Pの集合は円錐曲線を描く。このeを離心率と言う。
焦点Fを極とする平面極座標(r,θ)をとれば、動点Pの軌道は次の極方程式で表せる。

r(θ) = 1/(1+ e cosθ)

扁平率
　

円と円の共通内接線	x^2+y^2=r^2, (x-p)^2+(y-q)^2=R^2, (r+R)^2<p^2+q^2 , r＞0, R＞0 共通接線: (x1-p)(x-p)+(y1-q)(y-q)=R^2 ≡ x0x+y0y=r^2 x0p+y0q＞r^2
円と円の共通外接線	x^2+y^2=r^2, (x-p)^2+(y-q)^2=R^2, (r+R)^2<p^2+q^2 , r＞0, R＞0 共通接線: (x1-p)(x-p)+(y1-q)(y-q)=R^2 ≡ x0x+y0y=r^2 x0p+y0q＜r^2
楕円と楕円の共通内接線
楕円と楕円の共通外接線
双曲線の共通内接線
放物線と放物線の共通内接線
放物線と放物線の共通外接線

二次曲線(円錐曲線)	離心率e
円	e=0
楕円	0<e<1, e=(FF')/(長径)
放物線	e=1
双曲線	1<e
	扁平率f
円	f=0
楕円	0<f<1
放物線	f=1
双曲線	1<f