円と接線
| 円外の点を通る円への接線 |
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| 円外の点(x1,y1), 円(x-xc)2+(y-yc)2=r2 円周上の点(x0,y0) |
(x0-xc)2+(y0-yc)2=r2, (x1-xc)2+(y1-yc)2=(x1-x0)2+(y1-y0)2+r2 法線： (x,y)=(xc,yc)+t(x0-xc,y0-yc) (x-xc)/(x0-xc)=(y-yc)/(y0-yc)=t 接線： (x,y)=(x1,y1)+t(x0-x1,y0-y1) 直交条件：(x0-xc)(x0-x1)+(y0-yc)(y0-y1)=0 |
| [演習1] 点P(0,1)から円C:(x-4)2+y2=4に引いた接線PA,PBと、接点A,Bの座標を求めよ。 |
[解答]法線の方向ベクトルを（xa-4,ya)とすると 接線の方向ベクトルは(-ya,xa-4)=k(xa,ya-1) xa(xa-4)=-ya(ya-1),→xa2+ya2=4xa+ya…(A) 円周上の点A：(xa-4)2+ya2=4→xa2+ya2=8xa-12…(B) (A)-(B)からya=4(xa-3)…(C) (B)に代入してxa2+16(xa2-6xa+9)=8xa-12→17xa2-104xa+156=0 A(xa,xb)=[(52+2√13)/17, 4(1+2√13)/17] B(xb,yb)=[(52-2√13)/17, 4(1-2√13)/17] 接線OA：(x,y)=(0,1)+t(2(26+√13))/17,(4(1+2√13)/17-1)) 接線OB：(x,y)=(0,1)+t(2(26-√13))/17,(4(1-2√13)/17-1))  |
| 円周上の点を通る接線 |
接線の方程式 |
| 円 x2+y2 = r2 円周上の点(x0,y0) x0^2 + y0^2 = r2 |
x0 x + y0 y = r2 x0 (x-x0) + y0 (y-y0) = 0 (x,y)=(x0,y0)+t(-y0,x0) (x-x0)/(-y0)=(y-y0)/x0=t |
| 円(x-p)^2 + (y-q)^2 = r2 円周上の点(x0,y0) (x0-p)^2 + (y0-q)^2 = r2 x0^2+y0^2-px0-qy0 =r2-p^2-q^2+px0+qy0 |
(x0-p)(x-p)+(y0-q)(y-q)=r2 (x0-p)(x-x0)+(y0-q)(y-y0)=0 (x0-p)x+(y0-q)y=(x0-p)x0+(y0-q)y0 =x0^2+y0^2-px0-qy0 |
| [演習2]中心が原点で点P(4,3)を通る円の方程式と点Pにおける接線を求めよ。 |
[解答] x^2+y^2=r^2 (r＞0)に点P(X,Y)を代入。r2=4^2+3^2=25, r=5 円の方程式：x^2+y^2=5 点P(4,3)における接線：4x+3y=25  |
| 円周上の点を通る法線 |
法線の方程式 |
| 円 x2+y2 = r2, 円周上の点(x0,y0) x02 + y02 = r2 |
媒介変数表現：(x,y)=t(x0,y0) or x/x0=y/y0=t 陰関数表現：xy0-yx0=0 陽関数表現：y=xy0/x0 |
| 円(x-a)^2 + (y-b)^2 = r2, 円周上の点(x0,y0) (x0-a)^2 + (y0-b)^2 = r2 |
媒介変数表現：(x,y)=(a,b)+t(x0-a,y0-b) or (x-a)/(x0-a)=(y-b)/(y0-b)=t 陰関数表現：(x-a)(y0-b)-(y-b)(x0-a)=0 陽関数表現：y=b+(x-a)(y0-b)/(x0-a) |
| ⊿ABOの内接円と外接円 |
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| [演習3] X軸,Y軸と(x/4)+(y/3)=1の△ABOに内接する円Pおよび外接する円Qの方程式を求めよ。 ここで頂点の座標はA(4,0), B(0,3), O(0,0)である。 |
[解答] 直線AB：(x/4)+(y/3)=1 (x,y)=(0,3)+t(4,-3) x/4=(y-3)/(-3)=t ベクトルAB=(4,-3) 円P,Qの中心はy=x上に中心があるから 円の中心の座標をP(p,p), Q(q,q) とおく。 円の中心からX軸、Y軸、直線ABまでの距離は同一である。 法線方向ベクトル：（3,4） 法線ベクトルPH：(p,p)+t(3,4)/5 PH=|(p/4)+(p/3)-1|/√{(1/16)+(1/9)} =|7p-12|/5=p 12-7p=5p ∴p=1 PH=(1,1)+t(3,4)/5 H (8/5, 9/5) 法線ベクトルQH'：(q,q)-t(3,4,)/5 QH=|(q/4)+(q/3)-1||/√{(1/16)+(1/9)} =|7q-12|/5=q 7q-12=5q ∴q=6 QH'=(6,6)-6t(3,4)/5 H' (12/5,6/5) P : (x-1)2+(y-1)2=1 Q : (x-6)2+(y-6)2=62  |
| 3直線の交点を通る円 |
3直線：f(x,y)=0, g(x,y)=0, h(x,y)=0 円の方程式：f(x,y)g(x,y)+af(x,y)h(x,y)+bg(x,y)h(x,y)=0 ただし、(x2)と(y2)の係数が等しくxyの係数がゼロであること。 |
| [演習4] ３直線：x+y=0, x-2y=0, x+4y-6=0の交点を通る円の方程式を求めよ。 | [解答] 円の方程式を f(x,y)=(x+y)(x-2y)+a(x+y)(x+4y-6)+b(x-2y)(x+4y-6)=0…(A) とおくと x2の係数=a+b+1, y2の係数=4a-8b-2,xyの係数=5a+2b-1 a+b+1=4a-8b-2, 5a+2b-1=0からa=5/17,b=-4/17 (A)に代入 (17/6)(3x2+3y2-x-13y)=0 円の方程式は 3x2+3y2 -x-13y=0 or {x-(1/6)}2 +{y-(13/6)}2=85/18  |
| 3点を通る円 | (a1,b1),(a2,b2),(a3,b3) (x,y)=(a2,b2)+t(a1-a2,b1-b2)+s(a3-a2,b3-b2) |
| [演習5] 3点(0,0), (2,2), (-2,2)を通る円の方程式を求めよ。 |
[解答] a2+b2=(a-2)2+(b-2)2=(a+2)2+(b-2)2=r2 2=a+b, 4-2ab=r2, a=0 b=2, r=2 x2+(y-2)2=4 |
参考URL
[1]円の接線の方程式
[2]平面幾何におけるベクトル演算
[3]円の接線の方程式（青チャート自習室）
[4]