交点軌跡・動点軌跡・曲線の移動軌跡の領域


著者：Mathcot

初版: 2007.8.5

LastUpdate: 2007.10.28

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垂線の足の軌跡
[演習1] 楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>0,b>0)…(1) の接線y=cx+d…(2) に原点から下した垂線の足の軌跡を求めよ。	[解答] y=cx+dを楕円の式に代入して接する条件を判別式=0から求めると d^2=(b^2)+(a^2)(c^2)…(3) 接点の座標P(X,Y)はX=-(a^2)c/d, Y=d+cX=(b^2)/d…(5) 接線に下した垂線の方程式：x+cy=0…(6) 垂線の足（x,y）=(-cd/(1+(c^2)),d/(1+(c^2)))…(7) (3),(7)からc,dを消去した垂線の足の軌跡：((x^2)+(y^2))^2=(a^2)(x^2)+(b^2)(y^2)
点の軌跡
[演習2] 実数(a,b)が円a^2+b^2=1上を満たしながら動くとき、点(X,Y)=(a+b,ab)の軌跡を求めよ。	[解答] 軌跡の範囲：b=X-a, -1≦X-a≦1, a-1≦X≦1+a, -2≦X≦2 2a^2-2aX+X^2-1=0, X^2-2(X^2-1)=2-X^2≧0, -√2≦X≦√2 Y=ab=(X^2-1)/2, -1/2≦Y≦1/2 X^2-2Y=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2=1 軌跡はY=(1/2)(X^2-1) (|X|≦√2)
円の中心の軌跡
[演習3] （１）３点A(0,a^3),Q(s-a^2,0),R(s+a^2,0)を通る円の中心P(s,t)の軌跡Cを求めよ。(ただし a＞0)	[解答] 3点を通る円：(x-s)^2+(y-t)^2=r^2 (r＞0) 3点を通る条件：AP=PQ=PR s^2+(t-a^3)^2=a^4+t^2=r^2 s^2 -a^4=t^2 -(t-a^3)^2=(2a^3)t -a^6 (2a^3)t=s^2 +(a^2-1)a^4 t={(s^2)/(2a^3)} +a(a^2-1)/2 円の軌跡Cは、(s,t)を一般座標(x,y)に置き換えると次式となります。 Ｃ：y={(x^2)/(2a^3)} +a(a^2-1)/2
（2） 上記のＰ点の軌跡Ｃ y={(x^2)/(2a^3)} +a(a^2-1)/2　…(A) がx軸と2点で交わる時、Ｃとx軸で囲まれる面積Sの最大値を求めなさい。	a＞0であるから、放物線(Ａ)がx軸と異なる2点(-x1,0)と(x1,0)で交わる条件は x1＞0として (A)式の定数項：　a(a^2-1)/2＜0 0＜a＜1　…　(B) (A)式でy=0,x=x1(x1＞0)とおいて この時　x1=(a^2)√(1-a^2 )　…(C) S=∫[-x1,x1] 0-[{(x^2)/(2a^3)} +a(a^2-1)/2] dx = -∫[-x1,x1] [{(x^2)/(2a^3)} +a(a^2-1)/2] dx = -{(x1^3)/(3a^3)}+a(1-a^2)x1 =(2/3)(a^3)(1-a^2)^(3/2) dS/da=2a^2(1-2a^2)√(1-a^2) a=√2/2の時　最大値S(√2/2)=1/12
曲線の移動軌跡
[演習4] （１） C: x^2+y^2-2-t(2x+2y-a)=0 任意の実数tに対してCが円となるａの条件を求めよ。	[解答] （１） (x-t)^2+(y-t)^2=2t^2-at+2＞0 判別式D=a^2-16＞0 ∴-4＜a＜4
（２）a=3、実数t＞0の時、円Cの存在領域を求め図示しなさい。	（２）t=(x^2+y^2-2)/(2x+2y-3)＞0 ∴(x^2+y^2-2)(2x+2y-3)＞0
（３）a=5、実数t＞0の時、円Cの存在領域を求め、図示しなさい。	0＜t=(x^2+y^2-2)/(2x+2y-5)＜1/2 ∴x^2+y^2-2＜0
接線移動軌跡の領域
[演習5] 曲線C:y=f(x)=x^4+2ax^2+4ax+1に異なる2点で接する接線Lの軌跡の存在領域を求めよ。ただし、aは実数の定数。	[解答] y=f(x)の異なる2点で接する接線：y=bx+cとおくと y=g(x)=f(x)-(bx+c)=x^4+2ax^2+(4a-b)x+(1-c) =(x-d)^2 (x-e)^2とおける。ただし、ｄ≠e 展開式は恒等式であるから未定係数法を適用して定数間の関係を求めると b=4a,c=1-a^2,d=