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楕円の接線・法線・接円・曲率円
 

Author: Mathcot
 
Update: 2007.8.5
 
LastUpdate:2007.10.14

ただいま建設中です
 
楕円の性質
直交XY座標表示
楕円の方程式:(x/a)^2 +(y/b)^2 = 1 
a>b>0の時横長楕円,0<a<bの時縦長楕円
aはx軸方向半径, bはy軸方向半径
媒介変数表示:
 x=a cosθ, y=b sinθ

焦点F,F'
2つの定点F,F'からの距離の和が一定の点Pの軌跡が楕円である。
FP+F'P=2c, (cは長軸半径)
焦点
a>b>0の時
F,F'(±√(a^2-b^2),0)
b>a>0の時
F,F'(0,±√(b^2-a^2)
離心率eと焦点F,F'

a>b>0の時
e=(1/a)√(a^2 -b^2)
F(ae,0), F'(-ae,0)
焦点F,F',楕円上の点P, FPの中点M
半径MPの円Mは円x^2+y^2=a^2に内接する。
参考URL
[1]楕円
[2]

楕円と接線
楕円外の点Pを通る楕円への接線

楕円外の点(x1,y1), 楕円 { (x-xc)/a}^2 + { (y-yc)/b }^2 = 1
楕円周上の点(x0,y0)
 { (x0-xc)/a }^2 + { (y0-yc)/b }^2=1
(x,y)=(xc,yc)+t(x0-xc,y0-yc)
(x-xc)/(x0-xc)=(y-yc)/(y0-yc)
直交条件:(x0-xc)(x0-x1)+(y0-yc)(y0-y1)=0
焦点F,F', 接線の接点A,B
F,F'から接線に下した垂線の足H,H'
∠APF'=∠BPF
FH×F'H'=b^2
傾きmの楕円接線
y=mx±√{(am)^2 +b^2}
楕円周上の点Pを通る接線
接線の方程式
楕円(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, 楕円周上の点P(x0,y0)
(x0/a)^2 + (y0/b)^2 = 1, ( 0<a<b )
接線: x0 x/a^2 + y0 y/b^2 = 1
        (b^2)x x0+(a^2)y y0=(ab)^2
        x0 (x-x0)/a^2 + y0 (y-y0)/b^2 = 0
楕円周上の点を通る法線

楕円(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, 楕円周上の点(x0,y0)
(x0/a)^2 + (y0/b)^2 = 1, ( 0<a<b )

法線:(x/x0)(a^2)-(y/y0)(b^2)y0=a^2-b^2
楕円に2点で内接する円:0<a<b, c≧0
楕円:(x/a)^2 +(y/b)^2 =1
楕円の中心O:原点(0,0), 円の中心O'(c,0), 内接円の半径r

中心間の距離
OO'=c=(1/b)√{(a^2 -b^2)(b^2 -r^2)}
r^2=(b^2)(a^2 -b^2-c^2)/(a^2 -b^2)
楕円に点(b,0)で内接する円:0<a<b, c≧0 楕円:(x/a)^2 +(y/b)^2 =1
楕円の中心O:原点(0,0), 円の中心O'(c,0), 内接円の半径r r=(b^2)/a, c=b(a-b)/a
楕円外の点A(xo,yo)と楕円Cとの最短距離D
楕円:(x/a)^2 +(y/b)^2 =1,(a>b)
楕円上の点P(xt,yt)を通る接線:xt*x/a^2 +yt*y/b^2=1
  xt(b^2)x+yt(a^2)y-(ab)^2=0
楕円上の点P(xt,yt)を通る法線:(x/xt)(a^2)-(y/yt)(b^2)=a^2-b^2
法線が点Aを通る:((x-xo)/xt)(a^2)-((y-yo)/yt)(b^2)=0
法線:(x/xt)(a^2)-(y/yt)(b^2)=a^2-b^2=(xo/xt)(a^2)-(yo/yt)(b^2)
D=|xtxob^2 +ytyoa^2-(ab)^2|/√{(xtb^2)^2+(yta^2)^2}
Pが楕円上の点:(xt/a)^2+(yt/b)^2=1…(1)
法線が点(xo,yo)を通る:
(xo/xt)(a^2)-(yo/yt)(b^2)=a^2-b^2…(2)
(1),(2)から P(xt,yt)が求まる。
ten-daen-kyori-001a.PNG


参考URL
[1]楕円の接線の方程式
[2]
[3]
[4]楕円に内接する円




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