bibun 微分微係数導関数

微分法と微分公式

著者：Mathcot.H.I.

Update:2007.7.7
Update:2014.03.16

微分の定義

f'(x) = lim {f(x+h)-f(x)}/h
h→0

微分公式
(自然対数 ln(x)=log_e(x)=log(x))

f(x)	微分（導関数、微分係数）f'(x)
xⁿ	nx^n-1
1/xⁿ	-n/xⁿ⁺¹
√(1+x)	1/√(1+x)
√(1-x)	-1/√(1+x)
√(1+x²)	2x/√(1+x²)
e^x e^ax exp(ax)	e^x a e^ax a exp(ax)
exp(-x²/2) exp(-ax²) e^sin(x)	-x exp(-x²/2) -2axexp(-ax²) cos(x)e^sin(x)
x^ax=e^{ax ln x}a^x x^a x^x, (x>0) x^-x , (x>0)	a(1+ln x) x^ax{ln(a)} a^x ax^a-1 x^x {1+ln(x)} -{x^-x }{1+ln(x)}
x^{x^x}	x^{x^x} [x²{1+ln(x)}ln(x)+x^x/x]
ln \|x\|	1/x
sin(x) cos(x)	cos(x) -sin(x)
tan(x)	1/cos²(x)=sec²(x)=1+tan²(x)
cot(x)	-1/sin²(x)=-csc²(x)=-1-cot²(x)
x sin(ax)	sin(ax)+ax cos(ax)
x cos(x)	cos(ax)-ax sin(ax)
√(sin(x))	cos(x)/(2√(sin(x)))
sin(sin(x))	cos(x)cos(sin(x))
sin(cos(x))	-sin(x)cos(cos(x))
sin^-1(x)=(π/2)-cos^-1(x) sin^-1(x/a)	1/√(1-x²) 1/√(a²-x²)
cos^-1(x)=(π/2)-sin^-1(x) cos^-1(x/a)	-1/√(1-x²) -1/√(a²-x²)
tan^-1(x) tan^-1(x/a)	1/(1+x²) a/(a²+x²)
cot^-1(x)	d/dx cot^-1(x)=-1/(1+x²)
	d²/dx²cot^-1(x)=2x/(1+x²)² d³/dx³cot^-1(x)=2(1-3x²)/(1+x²)³
tan^-1(√{(1+x)/(1-x)})	1/{2√(1-x²)}
sinh(x) cosh(x)	cosh(x) sinh(x)
tanh(x)	1-tanh²(x)
coth(x)	1-coth²(x)
sinh^-1(x/a)	1/√(a²+x²) (a>0) -1/√(a²+x²) (a<0)
cosh^-1(x/a)	1/√(x²-a²) (a>0) -1/√(x²-a²) (a<0)
tanh^-1(x/a) (\|x/a\|<1) =(π/2)-coth^-1(x/a)	a/(a²-x²)
coth^-1(x/a) (\|x/a\|>1)	a/(a²-x²)

f(x)	微分（導関数、微分係数）f'(x)
f(ax)	af'(ax)
af(x)+bg(x)	af'(x)+bg'(x)
f(x)g(x)	f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
f(x)/g(x)	{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g(x)²
f(g(x))	df(u)/du g'(x) u=g(x)
e^f(t)	f'(t) e^f(t)

[演習1] y=(tan x +1/tan x)²	[解答] u=tan x u'=1+tan²x=1+u² y=(u+1/u)²y'=2(u+1/u)(1-1/u²)u' =2(u²+1)²(u²-1)/u³ =2(sin²x-cos²x)/(cos³x sin³x) =-16 cos 2x/sin³2x
[演習2] y=ln (x+√(x²+1))	[解答] u=√(x²+1) u'=x/√(x²+1) y'={1+x/√(x²+1)}/(x+√(x²+1)) =1/√(x²+1)
[演習3] y=ln (tan(2/x))	[解答] u=2/x, u'=-2/x²v=tan u, v'=(1+tan²u)u' y=ln v y'=v'/v=(1+tan²u)u'/tan u =-2(1+tan²(2/x))/(x²tan (2/x))
[演習4] y=x ln (x+√(x²+a))	[解答] u=√(x²+a) u'=x/√(x²+a) y'=ln (x+√(x²+a)) +x(1+x/√(x²+a))/(x+√(x²+a)) =ln (x+√(x²+a))+x/√(x²+a)

微分

微分可能性

右方微係数と左方微係数

陽関数の微分

陰関数の微分

f(x,y)=0	y'=-f_x/f_y

媒介変数形式関数の微分

対数微分法

y=f(x) ln y =ln f(x)	y'= y * f'(x)/f(x)
[演習1] y=(x²+1)/{ (x-1)(x+2)²}	[解答] ln y = ln \|x²+1\|-ln \|x-1\|-2ln \|x+2\| y'/y = 2x/(x²+1)-1/(x-1)-2/(x+2) =-x (x²-2x+7)/{ (x²+1) (x-1) (x+2)} y'=-x (x²-2x+7)/{ (x-1)²(x+2)³}
[演習2]	[解答]

数学ソフトでの微分法

Maple10
　

diff(f(x),x);

　
wxMaxima
　

diff(f(x),x,n);
nはn階微分の階数

　
Matlab

微分の公式

f(x)	f'(x),f⁽ⁿ⁾(x)
1/(1-x) dⁿ/dxⁿ 1/(1-x)	1/(1-x)^2 (d/dx)^n [1/(1-x)]={(2n-1)!/(n-1)!}{1/(1-x)^(-2n)}
ln(x)=log_e(x) 関係	ln(x)=log_e(x) 関係の微分
ln(\|x\|), ln(x) ln (\|f(x)\|), ln(f(x)) ln(\|x+1\|), ln(x+1) ln(\|ln(\|x\|)\|), ln(ln(x)) 1/{x ln(\|x\|)} ,1/(xln(x)) ln{\|sin(x)\|}, in(sin(x))	1/x f'(x)/f(x) 1/(x+1) 1/{x ln(\|x\|)}, 1/(xlog(x)) -{1+ln(\|x\|)}/{x ln(\|x\|)}², -(1+ln(x)) 1/tan(x)
ln{\|cos(x)\|}, ln(cos(x))	-tan(x)
tan(x) cot(x) sin(ωx) cos(ωx)	1/cos²(x)=sec²(x)=2/{1+cos(2x)}=1+tan²(x) -1/(sin²(x))=-csc²(x)=-2/{1-cos(2x)}=-1-cot²(x) ωcos(ωx) -ωsin(ωx)

参考URL
[1]関数の関数の微分公式
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

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Update:2007.07.07
Update:2008.02.24/25
Update:2014.03.16