微分方程式の解法

著者：Mathcot.H.I.

初版：2007.7.3

Update:2012.03.29

微分方程式の解法
時間領域解法	ｓ領域解法
y"+y'+y=0 , y(0)=-1, y'(0)=0 特性方程式： u^2+u+1=0, u=(-1±i √3)/2 y(t)=e^(-t/2) { Ca e^(i √3)t/2 +Cb e^(-i √3)t/2 }     =e^(-t/2) { A cos((√3)t/2) +B sin(-(√3)t/2) } y(0)=A=-1 y=e^(-t/2) { -cos((√3)t/2) +B sin((√3)t/2) } y'=-(1/2)e^(-t/2) { -cos((√3)t/2) +B sin((√3)t/2) }+   +(√3/2)e^(-t/2) { sin((√3)t/2) +B cos((√3)t/2) } y'(0)=(1/2)+(√3/2)B=0 B=-1/√3 ∴y=-e^(-t/2) { cos((√3)t/2) + (1/√3)sin(-(√3)t/2) }

 

一般の微分方程式	y=xuと置換して変数分離
x*tan(y/x)-y+ x y'=0の一般解を求めよ。 ただし,ｘ≠0,　|y/x|≦π/2とする。	[Mapale]による解法 ＞ g:=x*tan(y(x)/x)-y(x)+x*diff(y(x),x); dsolve(g=0); y(x)=arcsin(1/x_C1)*x [解答] y=x*arcsin(C/x) [y=ux置換による解答] dy/dx=u+du/dx を代入 (x^2)du/dx+x*tan(u)=0 ｘ≠0ゆえ xdu/dx+tan(u)=0 du/tan(u)=-(1/x)dx ln|sin(u)|=ln|(C/x)|, Cは積分定数 sin(u)=±C/x ∴sin(y/x)=±C/x　または y=±x*arcsin(C/x)