| 直線の方程式 |
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| 点(xo,yo,zo)を通る方向ベクトル(a,b,c)の直線 | (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c) (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c |
| [演習1] 点A(4,-3,7)をとおり方向ベクトル(6,3,5)の直線ABをMaple10で 描きなさい。 (x,y,z)=(4,-3,7)+t(6,3,5) または (x-4)/6=(y+3)/3=(z-7)/5 |
[解答] [Maple10] のプログラム  |
| [演習2] 点A(0,0,1)を通り方向ベクトル(1,1,1)の直線ABをMaple10で描きなさい。 |
<Maple10> |
| 原点を通る直線L：x/a=y/b=zの方向余弦(l,m,n) (x,y,z)=t(a,b,1) |
l=cosα,m=cosβ, n=cosγ, (α,β,γ)=直線と直交軸とのなす角 L上の単位ベクトル(l,m,n), l^2+m^2+n^2=1 l/a=m/b=n/1=k→(k^2)*(a^2+b^2+1), k=1/√(a^2+b^2+1) (l,m,n)=(ak.bk,k) |
| 点(xo,yo,zo)を通る平面：ax+by+cz+d=0に垂直な直線と垂線の足H(xh,yh,zh) |
直線(媒介変数):(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(a,b,c) 直線（平面の交線）:(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c H=(xo+ato,yo+bto,zo+cto), ここで, to=-(axo+byo+czo+d)/(a^2+b^2+c^2) |
| [演習] 平面x-2y-z = 1で、この平面に平面外の点(x0,y0,z0)から垂直に下した垂線の足H（直線と平面の交点）の座標(xh,yh,zh)を求めよ。 |
垂線の直線の式は (x-xo)/1=(y-yo)/(-2)=(z-zo)/(-1) 垂線の足は (xh,yh,zh)=(xo+to,yo-2to,zo-to), ここで, to=-(xo-2yo-zo-1)/(1+4+1)=-(xo-2yo-zo-1)/6 |
| ベクトル表記(媒介変数)による直線 |
点(xo,yo,zo)を通りベクトル(a,b,c)に平行な直線:(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(a,b,c) |
| 2点(x1,y1,z1)と(x2,y2,z2)を通る直線の式 |
[直交座標表現] (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1) [平面の交線表示] (x-x2)/(x2-x1)=(y-y2)/(y2-y1)=(z-z2)/(z2-z1) [媒介変数表示] (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1) |
| [演習] 2点(4,3,5), (2,6,9)を通る直線の式を求めよ。 |
[解答] [直交座標表現] (x-4)/(-2)=(y-3)/3=(z-5)/4 [平面の交線表示] z=-2(x-4)+5=13-2x, z=(4/3)(y-3)+5=(4/3)y+1 [媒介変数表示] (x,y,z)=(4,3,2)+t(-2,3,4)=(4-2t, 3+3t, 2+4t) |
| 直線LとL上にない点A(xo,yo,zo)を含む平面の式 |
直線L：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-zo)/c 直線Lの方向ベクトル(a,b,c) 平面：p(x-xo)+q(y-yo)+r(z-zo)=0 (p,q,r)・(a,b,c)=ap+bq+cr=0 |
| 点A(1,1,1), 直線L:x/2=(y-2)/3=(z+1)/(-2) |
直線L上の点B(0,2,-1),直線の方向ベクトル(2,3,-2) BAベクトル=(1,-1,2),平面の法線ベクトル(p,q,r)とおくと 2p+3q-2r=0, p-q+2r=0 法線ベクトル：(p,q,r)=(r/5)(-4,6,5) 平面の方程式:-4(x-1)+6(y-1)+5(z-1)=0 |
| 2平面の交線 |
平面の交線・定点・方向ベクトル |
| 平面1:2x+3y-z-4=0 平面2:4x-y+2z-3=0 |
平面の式から直線の式を求める x/5={y-(11/5)}/(-8)={z-(13/5)}/(-14) 点(0,11/5,13/5)を通る。直線の方向ベクトル(5,-8,-14) |
| 平面1と平面2の交線を通る平面の式 |
2x+3y-z-4+k(4x-y+2z-3)=0 |
| 曲面F(x,y,z)=0上の点(x0,y0,z0)における法線 |
法線ベクトル(a,b,c)=(Fx(x0,y0,x0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))とおけば法線は (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c |
| 曲面x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v)上の点(x0,y0,z0)における法線 | (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c a=∂(f2,f3)/∂(u,v),b=∂(f3,f1)/∂(u,v),c=∂(f1,f2)/∂(u,v), |
[1]平面の方程式
[2]
[3]
[4]
| 直線間の最短距離 |
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| 直線l:(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(a,b,c)に直線上にない点P(xp,yp,zp)を通る法線ベクトルと法線 |
垂線の足H(xh,yh,zh), 法線(x,y,z)=(xp,yp,zp)+s(d,e,f)=(xh,yh,zh)+(s-u)(d,e,f) 法線ベクトル:(d,e,f), ad+be+cf=0, |
| 二直線のなす角度θ |
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| 直線の方向ベクトルまたは方向余弦の内積から二直線のなす角θを求める。 |
直線l : (x,y,z)=(x1,y1,z1)+s(a,b,c) 直線m : (x,y,z)=(x2,y2,z2)+s(d,e,f) cosθ= (ad+be+cf)/√{( a2+b2+c2)(d2+e2+f2)} |
| (x,y,z)=(0,0,1)+s(1/√6)(1,2,1) (x,y,z)=(0,0,1)+s(1/√2)(1,0,1) |
cosθ=2/√(6*2)=1/√3 θ=cos-1(1/√3) |
| (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,-1,1) (x,y,z)=(1,2,3)+s(1,1,2) |
直線の方向ベクトルは(2,-1,1)と(1,1,2) 2直線のなす角をθとおけば cosθ=(2-1+2)/(√6*√6)=1/2 θ=π/3 |