媒介変数表示 |
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(a1,a2,a3)+t(b1,b2,b3) (x-x0,y-y0,z-z0)=s(x1-x0,y1-y0,z1-z0)+t(x2-x0,y2-y0,z2-z0) x-x0=a1s+b1t, y-y0=a2s+b2t, z-z0=a3s+b3t |
XYZ座標表示 |
一般の平面の方程式: ax+by+cz+d=0 x切片、y切片、z切片がa,b,cの平面の方程式: x/a+y/b+z/c=1 3点(x0,y0,z0), (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)を通る平面の方程式: (x-x0)(a2b3-a3b2)+(y-y0)(a3b1-a1b3)+(z-z0)(a1b2-a2b1)=0 |
[演習1] 3点P(3,-2,1)、Q(1,3,2)、R(-2,4,3)を通る平面と原点Oの最短距離を求めよ。 |
[解答] 2つのベクトル(↑PQ)=(-2,5,1)、(↑PR)=(-5,6,2)に直交するするベクトルを (a,b,c),(ただしa^2+b^2+c^2>0)とおくと (-2,5,1)×(a,b,c)=(5c-b,a+2c,-2b-5a) (-5,6,2)×(a,b,c)=(6c-2b,2a+5c,-5b-6a) これらが平行であることから (5c-b,a+2c,-2b-5a)×(6c-2b,2a+5c,-5b-6a)=0 (5c-b)(2a+5c)-(a+2c)(6c-2b)=0 -(5c-b)(5b+6a)+(2b+5a)((6c-2b)=0 -(a+2c)(5b+6a)+(2b+5a)(2a+5c)=0 これらを解くと (a,b,c)=(2,-5,-1)+k(-5,6,2) したがって、3点P,Q,Rを通る平面の法線ベクトルで 原点を通るベクトルで 3点P,Q,Rを通る平面Aに垂直なベクトル(↑h)は (↑h)=(x,y,z)=k(-5,6,2)…(1) 平面の方程式は (x,y,z)=(3,-2,1)+s(-2,5,1)+t(-5,6,2) s,tを消去すれば 平面A:4x-y+13z-27=0…(2) (1)の終点(x0,y0,x0)が平面にある条件は 4x0-y0+13z0-27=0 |