| fx=fy=0の解の点(xo,yo)で, fxx(xo,yo)<0, d=fxxfyy-fxyfyx|(xo,yo)>0の場合⇒極大値f(xo,yo) fx=fy=0の解の点(xo,yo)で, fxx(xo,yo)>0, d=fxxfyy-fxyfyx|(xo,yo)>0の場合⇒極小値f(xo,yo) fx=fy=0の解の点(xo,yo)で, d=fxxfyy-fxyfyx|(xo,yo)<0の場合⇒鞍点値f(xo,yo) |
極大値・極小値・鞍点値
| [演習1] f(x,y)=x^3+y^3-4x-12y+20の極大値、極小値、鞍点値とそれらの値を取る時の(x,y)座標を求めよ。 |
| [解答] [計算：Maxima使用、グラフ：Maple10使用] f:x^3+y^3+(-4)*x+(-12)*y+20； fx:diff(f,x,1);fy:diff(f,y,1); 3x^2-4 3y^2-12 solve(fx=0,x);solve(fy=0,y); [x=-2/√3, x=2/√3] [y=-2,y=2] fxx:diff(fx,x,1);fyy:diff(fy,y,1); 6x 6y fxy:diff(fx,y,1);fyx:diff(fy,x,1);d:fxx*fyy-fxy*fyx; 0 0 36xy f (-2/√3, -2); f (2/√3, 2); f (-2/√3, 2); f (2/√3, -2); 16/(3√3)+36 4-16/(3√3) 16/(3√3)+4 36-16/(3√3) x=-2/√3, y=-2 で ｆx=fy=0, fxx=6x < 0, d=4/√3 > 0 で 極大値f (-2/√3, -2)=16/(3√3)+36 x=2/√3, y=2 で ｆx=fy=0, fxx= 6x > 0, fyy=4/√3 > 0 で 極小値f (2/√3, 2) = 4-16/(3√3) x=-2/√3, y=2 で ｆx=fy=0, fxx= < 0, d=-4/√3 < 0 で 鞍形f (-2/√3, 2)=16/(3√3)+4 x=2/√3, y=-2 で ｆx=fy=0, d=6x > 0, d=-4/√3 < 0 で 鞍形f (2/√3, -2)=36-16/(3√3)  [Maple10]＞ plot3d(x^3+y^3-4 x-12 y+20, x=-5..5,y=-5..5, axes=normal,color=blue,transparency=0.7, tickmarks=[5,7,5],view=[-6..6,-6..6,-150..150]) |
| [演習2] z=f (x,y)=x^4-xy+y^4 の極値を求めよ。 |
| [解答] fx (x, y) = 4x^3-y, fy (x, y) = -x+4y^3 fx=fy=0 より y=4x^3, x=4y^3 4^4*x^9-x=0, x (2x-1) (2x+1) {(2x)^2+1} {(2x)^4+1}=0 x=0, x=1/2, x=-1/2 xの順に y=0, y=1/2, y=-1/2 極値の候補点は(0,0),(1/2,1/2),(-1/2,-1/2) 点(0, 0)について fxx(0, 0)=-1, D=fxxfyy-fxyfyx | (0, 0) = 0 だから (0, 0)は鞍点,f(0, 0)=0 点(1/2, 1/2)について fxx(1/2,1/2)=3>0, D (1/2, 1/2) = 8 >0だから 点(1/2,1/2) は極小点で極小値f (1/2, 1/2) = -1/8 点(-1/2, -1/2)について fxx(-1/2,-1/2)=3>0, D (-1/2, -1/2) = 8 >0だから 点(-1/2,-1/2)は極小点で極小値 f (-1/2, -1/2) = -1/8 |
[1]
[2] 偏微分
[3]
[4]