| 2直線（平面交線） (x-x1)/u1=(y-y1)/v1=(z-z1)/w1 (x-x2)/u2=(y-y2)/v2=(z-z2)/w2 ただし，∀kに対して (u1,v1,w1)≠k(u2,v2,w2) ２直線（媒介変数） (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(u1,v1,w1) (x,y,z)=(x2,y2,z2)+t(u2,v2,w2) ただし (x1,y1,z1)≠(x2,y2,z2), (u1,v1,w1)≠(u1,v1,w1) |
|
| 2直線（平面交線） (x-x1)/u1=(y-y1)/v1=(z-z1)/w1 (x-x2)/u2=(y-y2)/v2=(z-z2)/w2 ただし，∀kに対して (u1,v1,w1)≠k(u2,v2,w2) ２直線（媒介変数） (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(u1,v1,w1) (x,y,z)=(x2,y2,z2)+t(u2,v2,w2) ただし (x1,y1,z1)≠(x2,y2,z2), (u1,v1,w1)≠(u1,v1,w1) |
２直線上の点で共通垂線の足P(xp,yp,zp), Q(xq,yq,zq) (xp,yp,zp)=(x1,y1,z1)+t'*(u1',v1',w1') =(x1,y1,z1)+t*(u1,v1,1), t=w1*t' (xq,yq,zq)=(x2,y2,z2)+s'*(u2',v2',w2') =(x2,y2,z2)+s*(u2,v2,1), s=w2*s' 共通垂線 (x,y,z)=(xp,yp,zp)+u(a1,a2,a3) (xq,yq,zq)=(xp,yp,zp)+(a1,a2,a3) 垂線条件:内積＝0より a1u1+a2v1+a3w1=a1u2+a2v2+a3w2=0 連立方程式の解の式は非常に長いため次の数式処理ソフトのプログラムで 直ぐ解けます。 [Maple10] solve([xp = x1+t*u1, yp = y1+t*v1, zp = z1+t, xq = x2+s*u2, yq = y2+s*v2, zq = z2+s, xq = xp+a1, yq = yp+a2, zq = zp+a3, a1*u1+a2*v1+a3 = 0, a1*u2+a2*v2+a3 = 0], {s, t, xp, yp, zp, xq, yq, zq, a1, a2, a3}); |
| [演習]次の2直線の共通垂線と 垂線の距離を求めよ。 (x-1)/4=(y-2)/1=z/2 (x-4)/5=(y+3)/2=(z+5)/(-2) |
[解答] x1=1,y1=2,z1=0,x2=4,y2=-3,z2=-5,u1=2,v1=1/2,,u2=-5/2,v2=-1 [Maple10]で解く。 > eval(solve([xp = x1 + t u1, yp = y1 + t v1, zp = z1 + t, xq = x2 + s u2, yq = y2 + s v2, zq = z2 + s, xq = xp + a1, yq = yp + a2, zq = zp + a3, a1 u1 + a2 v1 + a3 = 0, a1 u2 + a2 v2 + a3 = 0], {s, t, xp, yp, zp, zq, a1, a2, a3, xq, yq}), [x1 = 1, y1 = 2, z1 = 0, x2 = 4, y2 = -3, z2 = -5, u1 = 2, v1 = 1/2, u2 = -5/2, v2 = -1]); {xp = -3, yp = 1, zp = -2, xq = -1, yq = -5, zq = -3, a1 = 2, a2 = -6, a3 = -1, s = 2, t = -2} > eval(sqrt((xp - xq)^2 + (yp - yq)^2 + (zp - zq)^2), [xp = -3, yp = 1, zp = -2, xq = -1, yq = -5, zq = -3]); √41 [Maple10]の計算結果から 共通垂線は (x,y,z)=(xp,yp,zp)+t(a1,a2,a3)=(-3,1,-2)+t*(2,-6,-1) = (2t-7, 1-6t, -2-t) または (x+3)/2=(y-1)/(-6)=(z+2)/(-2) また、共通垂線の長さ（直線間の最短距離）は √41 |
| 2直線（平面交線） (x-x1)/u1=(y-y1)/v1=(z-z1)/w1 (x-x2)/u2=(y-y2)/v2=(z-z2)/w2 ２直線（媒介変数） (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(u1,v1,w1) (x,y,z)=(x2,y2,z2)+t(u2,v2,w2) ただし (x1,y1,z1)≠(x2,y2,z2), (u1,v1,w1)≠(u1,v1,w1) |
2直線の方向ベクトル (u1,v1,w1),(u2,v2,w2) ねじれ角θ cosθ=(u1,v1,w1)・(u2,v2,w2)/[|(u1,v1,w1)|*|(u2,v2,w2)|] =(u1u2+v1v2+w1w2)/√{ (u1^2+v1^2+w1^2)(u2^2+v2^2+w2^2) } |