2次形式


著者:Mathcot.H.I

初版2012.02.21

Update:2012.02.21

2次形式(quadratic form)
全ての項が2次の項からなる多項式。
2次形式の例
f(x,y)=ax2+by2+2cxy
f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2dxy+2eyz+2fxz
f(x,y,z,w)=ax2+by2+cz2+dw2+2exy+2exz+2fxw+2gyz+2hyw+2izw
2次形式の行列表示
f(x,y)=ax2+by2+2cxy
      =[x y] A[x]
              [y]
A=[a  c]
  [c  b]

f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz
        =[x y z] A[x]
                  [y]
                  [z]
A=[a  d  e]
  [d  b  f]
  [e  f  c]

f(x,y,z,w)=ax2+by2+cz2+dw2+2exy+2fxz+2gxw+2hyz+2iyw+2jzw
          =[x y z w]A[x]
                     [y]
                     [z]
                     [w]
A=[a e f g]
  [e b h i]
  [f h c j]
  [g i j d]

2次形式の行列表示の求め方


標準2次形式

f(x,y)=Ax2+By2
f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2
f(x,y,z,w)=Ax2+By2+Cz2+Dw2



2次形式の標準化
2次形式
標準化2次形式
f(x,y)=ax2+by2+2cxy
g(X,Y)=AX2+BY2
[例題1] f(x,y)=x2+2xy+3y2を標準化せよ。
[解答]
f(x,y)=(x+y)2+2y2
X=x+y,Y=yと変数変換すれば
g(X,Y)=f(X-Y,Y)=X2+2Y2
g(x,y)=x2+2y2
f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2dxy+2eyz+2fxz f(X,Y,Z)=AX2+BY2+CZ2
[例題1]2次曲線 29x2-24xy+36y2+228x+216y+1044=0を標準形に直せ。
[解答]
f(x,y,1)=
29x2-24xy+36y2+228x+216y+1044
工事中
f(x,y,z,w)=ax2+by2+cz2+dw2+2exy+2exz+2fxw+2gyz+2hyw+2izw g(X,Y,Z,W)=AX2+BY2+CZ2+DW2
[例題1]f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2xw+6yz+4yw [解答]
f(x,y,z,w)
=(x+y-z+w)^2+3y^2+3z^2-2w^2+8yz+2yw+2zw .
=(x+y-z+w)^2+(1/3)(3y+4z+w)^2 -(7/3)z^2 -(2/3)zw-(7/3)w^2
=(x+y-z+w)^2+(1/3)(3y+4z+w)^2 -(7/3)(w+z/7)^2 -(16/7)z^2
X=x+y-z+w,Y=3y+4z+w,W=w+z/7,Z=zと変数変換すれば
g(X,Y,Z,W)=f((21X-7Y+51Z-14W)/21,(7Y-27Z-7W)/21,Z,(7W-Z)/7)
=X2+(1/3)Y2-(16/7)Z2-(7/3)W2

2次形式のの符号





2次形式の符号の求め方
固有値を求める方法






2乗項の和に変形する方法






2次形式の最大値・最小値



























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初版2012.02.21
Update:2012.02.21







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