| rg=(xg,yg) | |
| rg=(xg,yg) |
rg=∫_Dρ(r)rdS/∫_Dρ(r)dS 密度ρが一様な場合 rg=∫_D rdS/∫_D dS |
| (xg,yg) |
xg=∫_Dxρ(x,y)xdxdy/∫_Dxρ(x,y)dxdy yg=∫_Dyρ(x,y)xdxdy/∫_Dyρ(x,y)dxdy 密度ρが一様な場合 xg=∫_Dx xdxdy/∫_Dx dxdy yg=∫_Dy ydxdy/∫_Dy dxdy |
| [演習1] y=ax2とy=a(a＞0)で 囲まれた領域の重心G(0,yg)を 求めよ。ただし、密度=1とする。 |
[解答] y=ax2 y=a 連立して解くと (x,y)=(-1,a), (1,a) S=∫[-1,1] a(1-x^2) dx=(4/3)a m1=2∫[0,a] y(y/a)1/2 dy=(4/5)a2 yg=m1/S=(3/5)a G(0, 3a/5) |
| [演習2] y2=4ax とx=a (a>0) に 囲まれた領域の重心G(xg,0)を 求めよ。 |
[解答] y2=4ax と x=aの交点を求めると、 (x,y)=(a,2a),(a,-2a) S={2/(4a)}∫[0, 2a] y2dy =(1/(6a))8a3=(4/3)a2 m1=2∫[0,a] x*2√(ax) dx =4√a∫[0,a] x3/2 dx =4√a*(2/5)a5/2=(8/5)a^3 xg=m1/S=(6/5)a G(6a/5, 0) |
| [演習3] y=a(1-x2) とx軸で 囲まれた領域の重心 G(0, yg) を求めよ。ただし、a>0 |
[解答] S=∫[-1,1] a(1-x2)dx= 2a(1-1/3)=(4/3)a m1=2∫[0,a] y√{1-(y/a)2}dy =(2/3)a2 yg=m1/S=(1/2)a G(0, a/2) |
| [演習4] 円 x2+y2=R2 の円盤からその内部に含まれる 円(x-a)2+y2=r2の作る円盤を くり貫いた穴あき円盤の重心G(xg, 0) を求めよ。 （0<r<R, 0<a<R-r、円盤の密度b) |
[解答] 半径Rの円盤の質量 Ｍ=bπR2, 半径rの円盤部分の質量 m=bπr2 -xgM=(-xg+a)mより xg(M-m)=-am xg=-am/(M-m)=-ar2/(R2-r2) G(-ar2/(R2-r2), 0) |
| [演習5] y=x(2-x)とx軸で囲まれた図形 の重心G(1, yg) を求めよ。 |
[解答] S=2∫[0,1] x(2-x)dx =2[x2-x3/3](0,1)=4/3 y=x(2-x)=2x-x2=1-(x-1)2 x2=1+√(1-y), x1=1-√(1-y) x2-x1=2√(1-y) m1=2∫[0, 1] y√(1-y)dy=8/15 yg=m1/S=2/5 ∴G(1, 2/5) |
| [演習1] 0≦r≦1 (-45°≦θ≦45°) の(r,θ)領域の図形の重心G(xg,0) を 求めよ。 |
[解答] S=π/4 m1=2∫[0, 1/√2] x2dx+2∫[1/√2,1] x√(1-x2)dx =√2/6+√2/6=√2/3 xg=m1/S=4√2/(3π) ∴G(4√2/(3π), 0) |
| [演習2] 0<a≦r≦b (-45°≦θ≦45°) の(r,θ)領域の図形の重心G(xg,0) を 求めよ。 |
[解答] S=(1/4)π(b2-a2) m1=∫[0, b/√2] 2x2dx+∫[b/√2,b] 2x√(b2-x2)dx -∫[0, a/√2] 2(x2)dx+∫[a/√2,a] 2x√(a2-x2)dx =(1/18)(b6-a6) xg=m1/S=(2/9)(a4+a2b2+b4)/π |
| [演習3] 0≦r≦(1+cosθ) (-π≦θ≦π) の(r,θ)領域の図形の重心G(xg,0) を 求めよ。 |
[解答] r=1+cosθ, x=r*cosθ=(1+cosθ)cosθ dx=-sinθ(1+2cosθ)dθ dr=-sinθdθ, dS=2r*sinθdx=-2(1+cosθ)sin2θ(1+2cosθ)dθ S=-2∫[2π/3→0] (1+cosθ)(1-cos2θ)(1+2cosθ)dθ +2∫[2π/3→π] (1+cosθ)(1-cos2θ)(1+2cosθ)dθ ＝{π+(15√3/16)}-{(15√3/16)-(π/2)}=3π/2 ≒4.76539-0.05300≒4.71239 m1=-2∫[2π/3→0] (1+cosθ)2(1-cos2θ)(1+2cosθ)cosθdθ +2∫[2π/3→π] (1+cosθ)2(1-cos2θ)(1+2cosθ)cosθdθ ＝{(5π/6)+(4√3/4)}-{(3√3/4)-(5π/12)}=5π/4 ≒3.91703-(-0.00996)≒3.92699 xg=m1/S=5/6≒0.83333 G(5/6,0) [別解1] S=2∫[0→2π/3]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ +2∫[2π/3→π]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ ={(7√3/8)+π}+{-(7√3/8)+(π/2)}=3π/2 ≒4.65714+0.05525≒4.71239 [別解2] S=2∫[0→π]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ=3π/2 [別解3] x=cosθ(1+cosθ) →cosθ=-{1±√(1+4x)}/2 S=2∫[(-1/4)→2] x tan｛cos-1((√(1+4x)-1)/2)}dx -2∫[(-1/4)→0] x tan｛cos-1(-(√(1+4x)+1)/2)}dx ={(15√3/16)+π}-{(15√3/16)-(π/2)}=3π/2 ≒4.76539-0.05300≒4.71239 m1=2∫[(-1/4)→2] x2 tan｛cos-1((√(1+4x)-1)/2)}dx -2∫[(-1/4)→0] x2 tan｛cos-1(-(√(1+4x)+1)/2)}dx ={(3√3/4)+(5π/6)}-{(3√3/4)-(5π/12)}=5π/4 ≒3.91703-(-0.00996)≒3.92699 xg=m1/S=5/6 |